§ 14. Решение в параметрическом виде

Если

— такие дифференцируемые функции, что

то функции (14.1) представляют собой решение уравнения (13.1) в параметрическом виде. Иногда и общее решение уравнения (13.1) удается найти в параметрическом виде

где С — произвольное постоянное.

Функции (14.3) будем называть общим решением уравнения (13.1) в области если для каждой точки и для каждого из уравнений (13.4) найдется такое что (14.3) будет решением этого уравнения, проходящим через точку Можно сказать иначе. Функции (14.3) доставляют общее

решение уравнения (13.1) в области если для каждой точки и избранного уравнения из (13.4) система (14.3) определяет

так, что функции (14.3) определены при в окрестности и эти функции

удовлетворяют этому избранному уравнению тождественно. Многозначность у, определенных уравнением (13.1), порождает соответствующую многозначность определения Со из (14.4) для всякой точки Если (14.3) — общее решение уравнения (13.1) в области то, исключая параметр из (14.3), мы должны получить равенство (13.7) с указанными выше свойствами.

Уравнение

является частным случаем уравнения (13.1). Такое уравнение называется уравнением первого порядка и «-степени. Разрешая это уравнение относительно у, получаем уравнения (13.4), причем Из предыдущего следует, что решение уравнения (14.6), содержащее произвольную постоянную, может не быть общим, оно может быть общим только для группы этих уравнений.

Решение уравнения (13.1) будем называть особым, если оно особое хотя бы для одного из уравнений (13.4). Может случиться, что решение будет особым для одного из (13.4) и неособым для другого из этих уравнений.

Пример 1 . Общий интеграл: или Здесь область D — вся плоскость. Через каждую точку проходят две интегральные кривые:

Пример Общее решение: .

Пример

Уравнение (I) определено в области исключая точки так как в этих точках будет Уравнение

(II) определено в области исключая точки так как в этих точках будет

Мы будем рассматривать область 0 (рис. 4). Уравнение (I) определено в области между прямыми

Уравнение (II) определено в этой же области, исключая ось у. Прямые мы включаем в область определения уравнений (I) и (II). Уравнения (I) и (II) однородные, поэтому интегрируются заменой Для определения и получим соответственно уравнения:

откуда найдем интегралы

Это можно записать и так:

Подставляя сюда значение и, находим

Рис. 4

При разделении переменных в уравнениях (I) и (II) были потеряны решения

Решением уравнения (I) будет еще

Но оно получается из общего решения (14.8) при Решения (14.9) из общего не получаются при частном значении С.

Рассмотрим теперь, при каких значениях С решение (14.8) удовлетворяет уравнениям (I) и (II). Подставляя значение у из (14.8) в уравнение (I), получаем

Пусть Так как здесь берется арифметическое значение корня, то при

мы должны взять значение корня при

следует взять Отсюда видим, что при функция у, определенная формулой (14.8), будет решением уравнения (I) лишь в области (14.12), так как при условии (14.13) она не удовлетворяет равенству (14.11).

В случае С с 0, наоборот, функция (14.8) удовлетворяет уравнению (I) в области (14.13) и не является решением уравнения (I) в области (14.2). Мы также убедимся, что, функция (14.8) есть решение уравнения (II) в области (14.12) при и в области (14.13) при .

Найдем теперь решение задачи Коши, т. е. найдем решение, удовлетворяющее условию при Подставим эти значения х и у в общее решение (14.8) и найдем соответствующее значение С. Получим

В рассматриваемой нами области имеем Но тогда, очевидно, будет Из предыдущего следует, что если

то при функция (14.8) будет решением уравнения (I) и определена будет только в области

при этом, когда то

т. е. на границе области определения решение попадает в точку обладающую или свойством (если х взято или свойством (если х взято Отсюда видим, что крайние точки решения попадают в точки решений (14.9). Если, наоборот, найденное Си такое, что

то при функция (14.8) является решением уравнения (II) и определена в области При

решение снова попадает в точки решений (14.9). Легко убедиться, что удовлетворяет условию (14.16), а условию (14.15). Отсюда следует, что при функция (14.8) есть решение уравнения (И) и определена в области при является решением уравнения (I) и определена в области В обоих случаях решение заканчивается в точках на решениях (14.9).

Решение (14.8) есть парабола, касающаяся прямых (14.9). Таким образом, схема расположения интегральных кривых уравнения (14.7) в области соответствует рис. 5.

Рис. 5

При этом часть параболы ниже точек касания с прямыми (14.9) есть решение уравнения (II), а выше точек касания — уравнения (I). Действительно, — решение уравнения (I) и определено в области т. е. при если Эта интегральная кривая, как легко видеть, касается прямой в точке Следовательно, это решение определено в области т. е. выше точки касания. Так же убедимся в остальном. Здесь через каждую точку проходят две параболы — одна верхней ветви при и другая нижней ветви при Прямые (14.9) являются особыми решениями, так как состоят из точек, в которых нарешена

единственность решения уравнений (I) и (II). Впрочем, решения (14.9) и с прежней точки зрения особые, так как не получаются из общего при частном значении С. На первый взгляд кажется, что и решение (14.10) особое, так как пересекается решением (14.8). Но это не так. Действительно, (14.10) есть решение уравнения (I), а пересекается нижней частью параболы, которая является решением уравнения (II). А верхняя часть параболы является решением уравнения (I), как и (14.10), но она не пересекает (14.10). Таким образом, в точках решения (14.10) не нарушена единственность решения уравнений (I) и (II). Но, как мы видели, решение (14.10) получается из общего при при если введем другую произвольную постоянную). Поэтому и с прежней точки зрения оно неособое.