§ 11. Уравнение Риккати

где а — непрерывные функции в промежутке

Покажем, как можно построить решение уравнения (11.1) во всей области существования.

Если

где — решение системы

с произвольной функцией , то (11.3) есть решение уравнения (11.1). Можно положить тогда вместо (11.4) будег

Построим два линейно независимых решения этой системы

Тогда

— решение системы (11.5) с начальными условиями

а

— решение уравнения (11.1) с начальным условием

Так как Р и Q — решение линейных уравнений (11.5) с из промежутка , то Р и Q существуют при . Решение (11.6) может обратиться в бесконечность в точке х, если

Заметим, что если имеем (11.7), то числитель в (11.6) не обращается в нуль, так как иначе было бы

а тогда решение системы (11.5) было бы Таким образом, решение (11.6) с начальным значением в точке существует, с одной стороны, от до х, удовлетворяющего уравнению (11.7), а с другой стороны, до границы промежутка . Если — функции, непрерывные в промежутке то числитель и знаменатель в (11.6) определены при всех конечных значениях х. Например, это будет, если а, b и с — полиномы от х. Можно показать (см. [35]), что если — степенные ряды, сходящиеся при всех (например, если то из (11.7) найдем х в виде ряда

сходящегося при всех конечных значениях если при конечном (вещественном или комплексном) из (11.7) не имеем Если же из имеем то ряд (11.8) сходится при

К этой главе можно рекомендовать дополнительно работы [26, 27, 36, 53, 62, VI, XII].