§ 5. Подвижные особые точки решений системы двух уравнений

До сих пор мы рассматривали поведение решений или в окрестности точки или в окрестности такой точки что в точке правые части уравнений были неопределенными.

Пусть теперь дана система уравнений

и в окрестности точки выполнены условия теоремы Пикара или Коши существования решений. Таким образом, имеем решение

с начальными условиями

Будем непрерывно продолжать решение для Тогда или это решение продолжимо на всю область изменения в которой непрерывны, или встретим такую точку что для решение непродолжимо. При этом возникает и такой вопрос. Как себя ведут при . В § 6 главы III мы показали, что при этом точка попадает и остается в окрестности границы области D непрерывности правых частей Отсюда следует, что не может

быть так, что при и в точке непрерывны Другими словами, здесь возможны случаи:

1. При или или или оба вместе не имеют предела. Тогда точку будем называть особой точкой неопределенности или типа существенной.

2. При или , или или оба вместе стремятся к точке разрыва или или к если определены в области В этом случае мы также точку будем называть особой, хотя, может быть, решение и продолжимо через (если существует решение и при и при Иногда мы будем в этом последнем случае называть почти особой (квазиособой). Если имеем одно уравнение то из общей теоремы § 6 главы III следует, что при обязательно или так, что в точке нарушена непрерывность или если определена в области Но уже для системы двух уравнений этот вопрос становится намного труднее, так как здесь или или при могут не иметь предела. Например, не имеет предела, а . И, кроме того, особое значение мы здесь заранее не знаем; такая особая точка называется подвижной особой точкой. Значение особой точки определяется начальными значениями решения. Например, для уравнения общим решением будет или Особой точкой будет и при имеем

В § 7 главы I мы видели, что вообще решения уравнения Риккати имеют подвижные особые точки. В этом параграфе мы будем изучать поведение решений системы двух уравнений в окрестности подвижных особых точек.

Будем рассматривать систему двух уравнений

при следующих предположениях:

и, кроме этого, пусть

а ограничена при конечных

и ограничено при конечных у и или

Предположим еще, что в окрестности всех конечных точек или или где встречающиеся здесь функции конечны, они будут и голоморфны или непрерывны и удовлетворяют условиям Липшица по неизвестным функциям. Введем новую переменную равенством тогда из (5.1) в случае (5.2) получим

откуда

Лемма 5.1. Пусть в конечной точке Р и Q конечны. Тогда решение, обладающее свойством при существует и при

Это следует из теоремы единственности и непрерывности рассматриваемого решения в точке

Действительно, имеем единственное решение при Рассматриваемое же нами решение определяется начальными значениями

При достаточно большом т. е. при достаточно малом точка попадает в промежуток определения решения (5.7): где, очевидно, не стремится к 0 при Поэтому при достаточно большом эти функции определены

и непрерывны в точке и обладают свойством при Но тогда это решение обладает свойством при и совпадает с тем, которое найдено по теореме Пикара.

Замечание 5.1. Если система (5.1) имеет решение

то система (5.6) имеет решение

и наоборот.

Замечание 5.1 не связано с условиями (5.4), (5.5).

Замечание 5.2. При условиях (5.4) система (5.6) имеет решение (конечное), и не имеет решения при в силу теоремы единственности, поэтому система (5.1) не имеет решения при

Это замечание справедливо и в том случае, когда Но следует иметь в виду, что если неопределенно при то решение при возможно, поэтому возможно и решение

Пример. Здесь следовательно, условие (5.4) выполнено во всех точках, за исключением И здесь решение при . Но в условиях ограничено при или при здесь нарушено.

При условиях (5.5) также докажем, что система (5.1) в случае (5.3) не имеет решения (конечное) при (конечное). Для доказательства надо лишь рассмотреть вместо системы (5.6) ту систему, которая получится из (5.1) введением новой неизвестной равенством Если то это утверждение остается в силе и в этом случае.

Замечание 5.3. Можно задаться вопросом: при условии (5.4) система (5.1) не имеет решений (конечное), при (конечное), но не может ли она, однако, иметь такое решение что имеется последовательность которой соответствуют последовательности

Покажем, что это невозможно. Действительно, если такое решение есть, то система (5.6) имеет такое решение что для некоторой последовательности имеем Это решение определяется начальными

условиями Так как система (5.6) имеет решение то, согласно теоремам § 9 главы III, имеется решение

которое при достаточно малом будет определено и непрерывно в промежутке где как угодно большое при достаточно большом Но тогда при достаточно малом точка попадает в область в которой определено рассматриваемое решение. Согласно условию относительно решения имеются которым соответствуют Но так как это решение непрерывно в точке то должно быть чего быть не может согласно замечанию (5.2).

Замечание 5.3 остается в силе и в том случае, когда но При условии (5.5) также докажем, что система (5.1) не имеет такого решения, что существует последовательность для которой будет Если то это также справедливо.

Таким образом, в § 6 главы III мы показали, что если определены и непрерывны во всей конечной области и для решение непродолжимо, то должно быть при Теперь мы показали, что при условии (5.4) невозможно так, что множество ограничено, другими словами, при только вместе с и тем более не может случиться так, что ограничено, а при если для решение непродолжимо. И не может быть, конечно, так, что множество точек ограничено (согласно лемме 5.1). Остается еще только одна возможность множество значений ограничено при или просто при Если же для любой последовательности будет то это значит, что при Таким образом, доказана

Теорема 5.1. При условии (5.4), если — особая точка решения системы (5.1), то при

Так же докажется

Теорема 5.2. При условии (5.5), если - особая точка решения системы (5.1), то при Этим доказана

Теорема 5.3. Если выполнены условия (5.4) и (5.5) и особая точка решения, то

Следствие из теорем 5.1 и 5.2. Если для системы (5.1) выполнены условия (5.4) или (5.5) и условия теоремы 1.2 этой главы, то точка движения, определенного системой (5.1), не может уходить в бесконечность по спирали.

Действительно, согласно теореме 1.2 точка не может уходить в бесконечность при если она уходит в бесконечность при — конечное, то согласно теоремам 5.1 и 5.2 или соответственно.

Замечание к теореме 5.3. Частным случаем системы (5.1) будет система

где полиномы соответственно от у степени и от х степени с постоянными коэффициентами при старших степенях. Остальные коэффициенты пусть будут полиномами или рядами вида сходящимися при всех конечных Таким образом, имеем (5.10), если - особая точка решения уравнений

Пусть в отсутствует Здесь, если особая точка, то при Но есть ли решение с такими особыми точками? Этой системе соответствует уравнение

и решение, соответствующее этой интегральной кривой, может оказаться замкнутой, которой соответствует периодическое решение, например, когда при Такое решение существует при т. е. не имеет особых точек. Если дана система

где Р и Q — полиномы и высшая степень относительно у полинома Р есть и полинома высшая степень относительно х полинома Р есть и полинома и если то условия (5.4), (5.5) выполнены. В частности, если степень полинома Р есть полинома и члены в полиноме Р, а также члены в полиноме Q присутствуют, то, очевидно,

поэтому условия (5.4), (5.5) будут выполнены, если Например, эти условия выполнены, если Во всем этом остается вопрос: когда имеется особая точка (конечное), т. е. когда существуют решения, указанные в теоремах 5.1, 5.2 и 5.3, и если существуют, то как их построить? Напоминаем, что теоремы 5.1, 5.2 и 5.3 мы получили, рассматривая тот случай, когда Р и Q определены и непрерывны во всей бесконечной области Мы сохраняем эти предположения и сейчас. Пусть теперь Тогда вместо теоремы 5.1 имеет место

Теорема При условии (5.4), если — особая точка, то: или при т. е.

или

В самом деле, случай — ограничено и при невозможен, так как тогда имеем при в окрестности точки выполнены условия теоремы Пикара для уравнений тогда имеем при и решение продолжимо для не будет особой точкой. Следовательно, остаются только случаи Случай здесь не отличается от теоремы 5.1.

Если то вместо теоремы 5.2 имеет место Теорема При условии (5.5), если - особая точка решения системы (1.1), справедливо или

или

Если то имеет место Теорема При условиях (5.4) и (5.5) имеем следующие возможные случаи:

где

Правда, совмещая случаи из теорем мы получим и такой вариант: при Но, как следует из леммы 5.1, при этом точка перестает быть особой.

Будем говорить, что система (5.1) удовлетворяет условию (А), если при всяком конечном

или

или

или

только в изолированных точках

Предположим, что в конечной точке конечны, т. е. система (5.1) имеет решение

Теорема 5.4. Если для решения (5.15) системы (5.1) точка особая и существует последовательность для которой где точка — одна из тех, в которых выполнено одно из условий (5.11), (5.12), (5.13) или (5.14), то при Примечание к теореме 5.4. Если условия (5.11), (5.12), (5.13) и (5.14) выполняются при для плотного множества и точка то, как и в теореме 5.4, возможно при возможно и так, что при будет

Это вытекает из вышеупомянутой теоремы 6.1 главы III о том, что при точка попадает в как угодно малую окрестность границы области определения и непрерывности Р и Q и там остается. Для системы (5.1) при условии (А) для (особая точка) мы имеем, таким образом, всегда либо случай, указанный в теореме 5.4, либо один из случаев, указанных соответственно в теоремах 5.1, 5.2 или 5.3. Отметим еще, что если то при условии (А) имеем один из случаев, указанных в теоремах или в теореме 5.4 (если имеем особую точку

Ко всему этому надо заметить, что мы рассматривали вопрос о возможности поведения решений системы (5.1) при конечное, но не касались исследования поведения решений при поэтому наши заключения к случаю не относятся.

Если вместо условия (А) допустить, что имеем, например, замкнутую кривую на которой будет выполнено одно из условий то возможно при

Пример.

Здесь выполнены условия (5.4) и (5.5), поэтому, согласно теореме 5.3, либо решения не имеют особых точек и решения продолжимы на все либо если есть особые точки то при Общее решение имеем в виде — решения существуют при всех конечных особых точек нет.

Пример.

Здесь те же, что и в системе (5.16), поэтому условия (5.4) и (5.5) снова выполнены отличаются от прежних только знаком). Но здесь решения имеют вид

откуда видим, что при но особых точек на конечном расстоянии снова нет.

Пример.

Условия (5.4), (5.5) выполнены. Имеем интеграл и легко получаем

Пусть Тогда при подынтегральная функция: не обращается в бесконечность и при будет — конечное.

Отсюда следует, что при Очевидно, и

где - конечное, т. е. при Имеем также — конечное при Следовательно, будет при поэтому и при

Таким образом, рассматриваемые решения имеют две такие особые точки, зависящие от начальных значений при Этот результат соответствует 1 теореме 5.3.

Пример.

при ограничено при

Таким образом, но нарушено условие Система имеет решение

Пусть что имеем, если и С малое или малое. Тогда при но Здесь при правые части уравнений (5.6) обращаются в Таким образом, здесь нарушены условия теоремы 5.1, но и свойство полученного решения противоположно свойству решений, указанных в теореме 5.1.

Пример.

Здесь Условие (5.4) выполнено. Легко получить

Как видим, здесь все решения обладают свойством (что соответствует теореме 5.1) и (что не вытекает из доказанных теорем, так как условия (5.3) и (5.5) не выполнены) при

Пример.

условие (5.4) нарушено. Решение имеет вид

при т. е. решение имеет свойство, противоположное тому, какое отмечено в теореме 5.1, так как при - особая точка и имеем конечное. Пример.

Условие (5.4) выполнено. Имеем решение Как видим, при где Это соответствует теореме 5.1. Легко видеть, что для любого решения системы (5.22) имеем (конечное) при где определено равенством 1

Пример.

Условие (5.4) выполнено. Имеем

Если то — конечное при Пусть определено равенством

при достаточно большом а. Тогда при Если найдем из равенства

то, очевидно, при Заметим, что поэюму существует такое что Тогда — конечное и при но в точке дифференциальные уравнения не определены. Здесь — подвижная особая точка, соответствующая начальным значениям при Если

то при некотором будет - неопределенное при

Пример.

Здесь в соответствии с (5.2) и (5.4)

Таким образом, условие (5.4) выполнено, а (5.2) не выполнено, так как Согласно теореме Р. 1, если особая точка, то при будет или при и при этом . Для уравнений (5.23) выполнены условия [XI]

поэтому система легко интегрируется. Полагая находим откуда

с произвольной постоянной А (комплексной). Полагая и отделяя в (5.24) вещественную и мнимую части, находим

Легко видеть, что здесь знаменатель обращается в нуль только в том случае, когда одновременно

Если этого нет, то решение периодическое с периодом и, следовательно, особых точек нет. Если А вещественное (т. е. то

Если малое, то знаменатель не обращается в нуль и решение периодическое с периодом Но при всяком значении существует два значения при которых решение имеет особые точки. Если то получим решение

с особыми точками при этом если то что и соответствует теореме — случай Если возьмем то . Особыми точками будут

Для уравнений (5.23) интегральной прямой являются точками покоя будут Так же можно рассмотреть системы

так как эти уравнения удовлетворяют условиям Легко убедиться, что для уравнений I условия (5.4) и (5.5) выполнены, если поэтому, согласно теореме (5.3), если - особая точка, то при Полагая из I получаем, откуда где В — произвольная комплексная постоянная: Отсюда, отделяя вещественную и мнимую части, получаем

Здесь «только при

т. е.

Таким образом, значения определяют особую подвижную точку при условии Но при таких (или при таком и числители в х и у обращаются в нуль, т. е. при делаются неопределенными. Но мы покажем, что при Таким образом, имеем

(в чем легко убедиться). Найдем значение при

Раскроем неопределенность по Лопиталю:

Найдем значения числителя и знаменателя при значениях Получим при имеем поэтому — действительно особая подвижная точка ожидаемого типа.

Рассмотрим уравнение или соответствующую систему где полином. В соответствии с имеем: Предположим ограничена при конечном

Таким образом, если

и — особая точка, то при При каких начальных условиях это будет или таких решений нет? Или наряду с такими решениями существуют решения и без особых точек? Что будет, если нет но есть

Тогда, согласно (5.6), имеем решение при

откуда получим и Здесь для будет алгебраической двузначной особой точкой, а для алгебраическим полюсом: