§ 6. Метод преобразований в системах

В § 2 главы II мы отметили, что для уравнений (6.1) иногда удается найти интегрируемую комбинацию в силу уравнений (6.1). Мы не знаем, однако, таких стандартных систем, которые являются интегрируемыми классами, подобными тем случаям, когда уравнения

интегрируются в замкнутой форме. Но мы укажем один способ упрощения заданной системы (6.1). Будем называть систему (6.1) простейшей, если она имеет вид

Можно поставить перед собой задачу указать такие системы (6.1), которые преобразуются к виду (6.2) или к такой системе, в которой хотя бы некоторые из уравнений (6.1) имели вид

т. е. содержали бы только одну неизвестную.

Пусть - уравнение системы (6.1) можно записать в виде

где — некоторые функции. Тогда уравнение (6.3) запишется в виде

Поэтому уравнение можно записать и так:

Уравнение (6.5) содержит только две переменные: Если мы найдем интеграл этого уравнения

или общее решение

то порядок системы (6.1) понизится на единицу, так как

будет интегралом системы (6.1). Если все уравнения (6.1) имеют вид (6.3), то мы получим систему вида (6.2) с новыми неизвестными функциями Впрочем, здесь и независимые переменные в каждом уравнении будут разные, именно в уравнении будет неизвестной и независимой переменной Некоторые из этих уравнений могут оказаться интегрируемыми в замкнутой форме.

Теперь естественно спросить, каковы те условия, при которых наверное существуют такие функции и.

что уравнение системы (6.1) может быть записано в виде (6.3). Чтобы ответить на вопрос, обращаемся к уравнению (6.4), которое после замены в левой части можно записать в виде

Заменяя же все у через можно написать и так:

Если

то имеем систему

и вместо (6.10) получим

Мы нашли необходимое и достаточное условие, при котором уравнение системы (6.1) можно записать в виде (6.3) и тем самым в виде (6.5). Именно, из уравнения (6.10) и находим Из уравнения (6.10) видим, что, задавая найдем как решение линейного неоднородного уравнения в частных производных первого порядка. Уравнение (6.10) эквивалентно системе обыкновенных уравнений

Это мы запишем в виде

Пусть

— интегралы уравнений (6.14) и

— интеграл уравнения (6.15). Тогда все решения уравнения (6.10), за исключением особых (т. е. II класса), найдем из уравнения

где — произвольная функция. Другими словами, общий вид получаем по формуле

с произвольной функцией Эта функция произвольная относительно потому, что в сущности — произвольная ввиду произвольности . Если в то

— интеграл уравнений (6.14), и тогда каждое получим в виде

а это означает, что каждое из уравнений (6.1) можно записать в виде (6.3) с Так можно записать каждое из уравнений (6.1), но не все сразу, так как из (6.5) получим только один интеграл (6.20).

Предположим теперь, что известен интеграл системы т. е.

Тогда можно записать любое одно уравнение системы (6.1) в виде (6.3) с произвольной Действительно, сначала находим через из (6.15), задав затем из (6.18) или (6.19) через

Можно вместо задать что все равно, так как тогда имеем

откуда получим

Теперь мы имеем V, удовлетворяющее уравнению (6.10), которому соответствуют системы (6.14), (6.15) и (6.18), (6.19). Из (6.10) получим (6.3), что и требуется.

Заметим еще, что в (6.15) можно взять и в виде также в виде

при этом уравнение системы (6.1) будет равносильно уравнению

где определяется согласно (6.18), из

или, согласно (6.19), в виде

Отсюда следует, что системе (6.1) соответствует равносильная система вида

и интегралы вида

Здесь определяются, согласно (6.18) и (6.19), через интегралы заданной системы (6.1). Но интеграл уравнения (6.1) можно получить из (6.5) и в том случае, если найдем решение II класса уравнения (6.10), что не требует интегрирования уравнений (6.1).

Замечание 6.1. Можно решение уравнения (6.10) искать, например, в виде

т. е. как решения уравнений

Тогда первое и третье из уравнений (6.1) равносильны уравнениям

т. е. переменные разделяются. Другими словами, можно искать зависящей не от всех переменных лишь от некоторых, что упрощает нахождение и затем упрощает систему (6.1).

Пример. Дана система

Возьмем в Тогда уравнения (6.30) имеют вид

Этим уравнениям удовлетворяют функции

Следовательно, уравнения (6.31) равносильны уравнениям

Из первого уравнения имеем или Из второго найдем или