§ 3. Линейные системы

Рассмотрим частный случай системы линейную систему

в которой коэффициенты — голоморфные функции в окрестности точки т. е. представимы в виде рядов по положительным степеням сходящихся в области

Докажем, что система (3.1) имеет голоморфное решение

с произвольными постоянными причем ряды (3.3) сходятся в области (3.2).

Как и раньше, не уменьшая общности, положим Итак, предположим, что ряды

сходятся при

Докажем, что в этом случае система (3.1) имеет реление в виде рядов

сходящихся в области (3.6).

Коэффициенты уравнений (3.1) имеют мажоранту (одну и ту же)

где модуля функций в области Наряду с системой (3.1) рассмотрим мажорантную систему

Так же, как и в общем случае, найдем единственное формальное решение в виде (3.7) и для системы (3.1), и для системы (3.9):

Будем иметь и неравенства

аналогичные неравенствам (2.13). Поэтому если докажем сходимость рядов (3.10), удовлетворяющих уравнениям (3.9), то в силу (3.11) получим и сходимость рядов (3.7).

Докажем сходимость рядов (3.10). Из (3.9) видим, что

Так как при должно быть то . А тогда из (3.9) имеем

Отсюда найдем

Так как то Следовательно,

откуда видим, что ряды (3.10) сходятся при

Мы доказали сходимость рядов (3.7) в области (3.6), так как любое, меньшее .

Следствие 3.1. Пусть в - рациональные функции вида где — вещественные полиномы. Возьмем не равное ни одному из корней знаменателей Тогда все коэффициенты представимы в виде рядов сходящихся в области

где — расстояние от а до ближайшего из корней знаменателей вещественных и комплексных. По доказанному такая система (3.1) имеет решение в виде рядов

сходящихся в области при произвольных Если же коэффициенты представимы в виде рядов (3.4), (3.5), сходящихся при всех конечных х, то и ряды (3.7) будут сходиться при всех х. Например, если - полиномы, то ряды (3.7) сходятся при всех х. Коэффициенты рядов (3.7) можно искать так же, как и в общем случае.

Как мы видели, если имеем линейное уравнение

то изучение его можно свести к изучению системы линейных уравнений, если ввести неизвестные Поэтому для уравнения (3.16) имеет место следующая Теорема 3.1. Если коэффициенты представимы сходящимися рядами

в области

то уравнение (3.16) имеет решете с начальными условиями где — произвольные числа, и это решение представимо сходящимся в области (3.18) рядом

где Остальные коэффициенты определяются однозначна в виде полиномов от коэффициентов рядов (3.17).

Ряд (3.19) иногда может оказаться сходящимся и в большей области, чем (3.18). Коэффициенты можно найти, например, подставляя ряд (3.19) в уравнение (3.16) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа.

Если ряды (3.17) сходятся при всех конечных значениях, то таким будет и ряд для у (3.19).