§ 13. Уравнения, не разрешенные относительно у'

Теперь будем изучать дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно у:

Иногда решение такого уравнения находим в неявном виде

Как узнать, что это уравнение определяет решение уравнения (13.1)? Найдем у неявной функции

Если есть решение уравнения (13.1), то

в силу (13.2).

Предположим, что в каждой точке равенство (13.1) определяет вещественных значений у:

где — такие, что через каждую точку проходит и притом единственное решение всякого из уравнений (13.4). Предположим, что

— соответственно интегралы уравнений (13.4) в Вместо (13.5) можно записать

или

где Ф — полином относительно С степени т. Именно в виде (13.7) часто и удается найти общее решение уравнения (13.1). Разрешая, следовательно, (13.7) относительное, мы и получаем интегралы уравнений (13.4). Равенство

есть один из интегралов (13.5), если

так как

в силу одного из уравнений (13.4), или, наоборот, одно из этих уравнений (13.4) тождественно выполняется в силу (13.8) после замены нем у через у, полученный из (13.10). А совокупность (13.4), записанная в виде

отличается от (13.1) множителем, отличным от нуля при вещественных значениях , или (13.11) и есть (13.1). Может случиться, что с изменением области D изменится число вещественных значений или изменятся сами

Прим Первые два уравнения заданы в области вторые — в области Впрочем, можно, например, два равенства рассматривать как одно уравнение заданное во всей плоскости

Если поставленная задача Коши имеет единственное решение для каждого из уравнений (13.4), то будем говорить, что она имеет единственное решение и для уравнения (13.1), хотя на самом деле имеем решений. Решение будем называть общим решением уравнения (13.1) в области если для каждой точки найдется значений таких, что и функции будут решениями соответственно уравнений