§ 4. Неоднородное уравнение

Это уравнение называется неоднородным и в том случае, когда если хоть один из коэффициентов зависит от . Будем искать решение этого уравнения в неявном виде

Находим отсюда дифференцируя (4.2) по

Подставляя отсюда в (4.1), получаем

Пусть тождественно удовлетворяет уравнению (4.5). Тогда равенство (4.2) в неявном виде опредёляет решение уравнения (4.1). Если — независимые решения уравнения (4.5), то общее решение уравнения (4.5) имеет вид

и доставляет все решения уравнения (4.1) этого класса

т. е. решения, определяемые равенством (4.2), где V — решение уравнения (4.5). Решения (4.3), содержащиеся в формуле (4.7), будем называть решениями I класса.

Но равенство (4.2) доставляет решение уравнения (4.1) и в том случае, когда удовлетворяет уравнению (4.5) не тождественно, а в силу (4.2). Такое решение (4.3) будет, вообще говоря, иной природы, его мы будем называть решением II класса.

Относительно решений I класса можно добавить следующее. Пусть, например, — непрерывно дифференцируемые функции и в окрестности точки один из знаменателей уравнений

не равен нулю. Например, пусть

Тогда для системы

в окрестности точки имеем независимые интегралы

этой системы, которые будут независимыми решениями уравчения (4.5). Тогда из (4.7) получим решения I класса (4.3).

Рассмотрим подробнее решения II класса. Решения II класса получаются из (4.2), где удовлетворяет уравнению (4.5) в силу самого уравнения (4.2). Это означает следующее. Имеем некоторое уравнение

где

Возьмем решение этого уравнения

Таким образом, эта функция не удовлетворяет уравнению (4.5). Но она удовлетворяет ему на множестве точек

и), определяемых равенством (4.2), так как на этом множестве согласно предположению. Пример.

Здесь уравнение (4.5) имеет вид

Наряду с этим уравнением рассмотрим и уравнение

Легко видеть, что

есть решение уравнения (4.14) и не является решением уравнения (4.13). Но функция (4.15) удовлетворяет уравнению (4.13) на множестве точек :

и, следовательно, равенство (4.16) доставляет решение уравнения (4.12):

Но внимание! Рассмотрим уравнение

Здесь уравнение (4.5) имеет вид

Образуем уравнение

решением которого является

Функция (4.21) удовлетворяет уравнению (4.19) на множестве

или в силу этого равенства, так как

Из равенства (4.22) получаем

Но эта функция не является решением уравнения (4.18), хотя мы нашли ее из равенства (4.2), и V удовлетворяет (4.19) в силу (4.2). Дело в том, что при получении уравнения (4.5) мы предполагали на множестве (4.2), что здесь нарушается.

Отметим еще, что общее решение уравнения (4.20) имеет вид

Легко показать, что здесь равенство не дает решения уравнения (4.18) ни при каком выборе функции Следовательно, равенство (4.2) доставляет решение уравнения (4.1), если У удовлетворяет уравнению (4.5) в силу (4.2) и если на множестве точек , удовлетворяющих равенству (4.2), Если это не иметь в виду, то, как легко видеть, уравнению (4.5) удовлетворяет функция в силу (4.2) при произвольной функции . Вернемся к примеру (4.12). Найдем общее решение этого уравнения. Здесь система (4.8) имеет вид

или

Интегралами здесь будут

Мы получили два независимых решения уравнения (4.13), поэтому общее решение уравнения (4.13) имеем в виде

и общее решение уравнения (4.12) определяется, согласно (4.7), равенством

Можно ли отсюда получить решение (4.17)

которое мы нашли ранее как решение II класса? Чтобы решить этот вопрос, подставим (4.17) в (4.27). Получим Такое соотношение невозможно ни при каком выборе функции так как х и у — независимые переменные. Таким образом, решение в общем решении (4.27) не содержится. Легко видеть, что на решении не выполнены условия теоремы Пикара для уравнений (4.24), так как в точках этого решения частная производная от правой части первого уравнения обращается в бесконечность.

Но заметим следующее. При из общего решения (4.27) получим решение уравнения (4.12) в виде

или

Это решение и решение вообще, как мы видели, различной природы, но при они совпадают, т. е. решают одну и ту же задачу Коши

Более того, пусть

— произвольная кривая, лежащая 1 на решении Найдем из общего решения то, которое содержит эту кривую. С этой целью запишем общее решение (4.27) в виде

Далее в силу имеем Если - обратная функция для функции то, очевидно, и искомое решение получаем в виде

Таким образом, в общем решении содержится решение, проходящее через любую кривую, расположенную на решении II класса, существенно отличном, не содержащемся в I классе.

Итак, решение уравнения (4.1) в неявном виде через равенство (4.2) можно получить двумя способами. I способ, когда V есть решение уравнения (4.5). Все решения этой природы мы получим из формулы (4.7), где Ф — произвольная функция. Мы называем формулу (4.7) общим решением — она содержит все решения, получаемые по первому способу. II способ, когда V удовлетворяет уравнению (4.5) не тождественно, а в силу (4.2), т. е. удовлетворяет уравнению на множестве , определяемом равенством (4.2). Здесь есть решение (уже обычное) некоторого уравнения (4.11), где . Для уравнения (4.12) эти решения оказались существенно различными, так как решение, полученное по второму способу, не содержится среди решений I класса. Напрашивается вопрос: будет ли так всегда? Чтобы ответить на этот вопрос, вернемся к уравнению (4.12) и соответствующему уравнению (4.13). Присоединим сюда уравнение

Это неоднородное уравнение для V, которому соответствует однородное уравнение типа (4.5):

Здесь система (4.8) имеет вид

Имеем два прежних интеграла (для уравнений (4.24)):

и один новый

который получим из уравнения Общее решение уравнения (4.28), согласно (4.7), имеем в виде или

Это решение уравнения (4.28) в обычном смысле. Но на множестве

имеем V, удовлетворяющее уравнению (4.13). Следовательно, равенство (4.34) доставляет решение уравнения (4.12) при помощи равенства (4.2), и эти решения будут II класса. Но (4.34) совпадает с равенством (4.27), которое доставляет решения уравнения (4.12), но I класса. Таким образом, при некоторых функциях а» в уравнении (4.11) решения II класса включают в себя все решения I класса уравнения (4.1).

Рассмотрим снова уравнение (4.12) и соответствующее уравнение (4.13). Присоединим сюда уравнение типа (4.11):

Соответствующее однородное уравнение будет

Здесь, как и для уравнения (4.29), найдем

откуда получим решения уравнения или

и

Это общее решение уравнения (4.35). Полагая

будем иметь равенство типа (4.2), из которого можно искать решение уравнения (4.12), когда V удовлетворяет уравнению (4.5) не тождественно, а в силу (4.2). Но мы видели, что такое V при помощи равенства (4.2) не всегда доставляет решение уравнения (4.1). Если мы найдем из и подставим в увидим, что равенство (4.38) доставляет решение уравнения (4.12) только в том случае, когда Ф(и, т. е. когда Здесь, действительно, равенство доставляет решение уравнения (4.12), которое мы имели раньше.

Отметим еще, что для некоторых уравнений (4.1) и некоторых в (4.11) получим такое общее решение уравнения (4.5), соответствующего уравнению (4.11), , из которого на основании равенства (когда V удовлетворяет уравнению (4.5) не тождественно, а в силу не получим 1 вообще решений уравнения (4.1). Мы можем указать такие со в уравнении при которых из общего решения уравнения на основании равенства (4.2) можно получить все решения I класса уравнения (4.1), т. е. решения, получаемые из равенства (4.2), где V — обычное решение уравнения (4.5). Можем указать и такие со, при которых этого не будет, т. е. когда равенство (4.2), где V — общее решение уравнения (4.11), не дает решений I класса.

Действительно, пусть дано уравнение (4.1) и соответствующие уравнения (4.5), (4.8) и (4.11). Для уравнения (4.11) имеем соответствующее однородное уравнение для :

Этому уравнению соответствует система обыкновенных уравнений типа (4.8)

которая отличается от (4.8) лишь одним дополнительным равенством, например Здесь имеем прежние интегралы и еще один новый . Следовательно, общее решение уравнения (4.11) можно написать в виде

или

Здесь в неявном виде имеем и решение V уравнения (4.11) в форме

Теперь на основании равенства получим решение V уравнения (4.5) на множестве само это равенство доставит решения II класса уравнения (4.1). Но предположим, что последний интеграл Тогда равенство (4.2), Доставляет решения уравнения (4.1) в виде

что совпадает с (4.7), т. е. возвращает нас к I классу решений уравнения (4.1). Если же то получим решения уравнения (4.1) в виде

Если это равенство доставляет решения уравнения (4.1), то они, вообще говоря, будут отличаться от решений I класса, так как здесь

Итак, рассматривая решения, полученные из равенства (4.2) на основе двух классов функций , можно встретиться с тремя случаями:

1. I и II классы решений существенно различны, и никакое решение II класса не содержится в I классе.

2. I класс содержится во II классе.

3. Вообще из равенства (4.2) не получим решений уравнения (4.1), где V удовлетворяет уравнению (4.5) в силу самого равенства (4.2).

Основное и важное свойство решений уравнения (4.1), содержащихся в общем решении (4.7), характеризуется следующей теоремой.

Теорема 4.1. Все решения уравнения (4.1), в окрестности точек которых выполнены условия теоремы Пикара для уравнений (4.8), содержатся в общем решении (4.7).

Доказательство. Итак, пусть дано уравнение (4.1) и соответствующие уравнения (4.5) и (4.8). Пусть независимые решения уравнения (4.5) (интегралы уравнений и (4.3) — решение уравнения (4.1), в окрестности которого выполнены условия теоремы Пикара для уравнений (4.5) и, следовательно, в окрестности которого построены Так как (-решение уравнения (4.1), то имеем

— решения уравнения (4.5), т. e. удовлетворяют ему тождественно при всех значениях , а значит, и при поэтому

— решения уравнения

где

Покажем, что функции

рассматриваемые как функции переменных суть решения уравнения

где

Подставим (4.42) в (4.41):

Здесь выражение в скобках на основании (4.39) равно поэтому

Но на основании

Итак, решения уравнения (4.41). Но всякие решений уравнения (4.41) зависимы, т. е. имеем

а это и значит, что решение (4.3) содержится в общем решении (4.7). Можно задаться вопросом, зачем предполагалось, что — независимые решения уравнения (4.5), ведь мы этим нигде не воспользовались. Но если — зависимые, то (4.7) может быть тождеством, т. е. выполняется при всех и, а тогда это равенство не определяет А если - независимые, то при всяком Ф равенство (4.7) определяет и найдется такое Ф, при котором получится заданное что мы и доказали. Другое дело, как для фиксированного решения (4.3) найти соответствующее Ф? Об этом речь впереди.

Итак, все решения уравнения (4.1), в окрестности которых выполнены условия теоремы Пикара для системы (4.8), можно получить по формуле (4.7). Остальные решения и надо искать среди решений II класса, если они есть и если эти решения существенно отличны от решений I класса. Следовательно, остальные решения надо искать на том множестве точек и), на котором не выполнены условия теоремы Пикара, или это те точки, в которых равны нулю все коэффициенты уравнения (4.1) или не выполнены условия теоремы Пикара для уравнения (4.8) иным образом.

Мы видели, как в точках нарушены условия теоремы Пикара для уравнений (4.24). В частности, если коэффициенты уравнения (4.1) суть полиномы и один из них не обращается в нуль нигде, то всякое решение уравнения (4.1) заключается в формуле (4.7).

Пример.

В этой формуле и содержатся все решения. При интегральная поверхность стремится к цилиндрам:

Как уже было сказано, уравнение

также называется неоднородным, если хоть один из коэффициентов зависит от и. Но чем это уравнение отличается от полного неоднородного уравнения? Здесь соответствующее уравнение для V имеет вид

которому соответствует система обыкновенных уравнений

Необходимо найти независимых интегралов системы (4.46), которые будут независимыми решениями уравнения (4.45). Одним таким решением будет что для системы (4.46) доставляет интеграл Подставляя это в и), в системе (4.46) получим уравнения с переменными куда будет входить и параметр С. Из уравнений (4.46) найдем интегралы (решения уравнения (4.45))

Общее решение уравнения (4.45) получим в виде и, следовательно, общее решение уравнения (4.44) в неявном виде или