Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3. Теорема ПуанкареРассмотрим уравнение
где
Теперь покажем, что в этом случае уравнение (3.1) имеет бесконечное число неголоморфных решений, обладающих свойством (3.2). Запишем уравнение (3.1) в параметрическом виде
Если положить
то для и и
Так как X не является целым положительным числом, то имеем частный случай системы (12.13) (глава III) и здесь
при целых
Поэтому, согласно (12.15) главы III, найдем
сходящихся при малых
откуда
Полагая произвольную постоянную
Уравнения (3.5) доставляют общее решение в параметрическом виде в окрестности точки
или, так как
Это уравнение типа (2.1) с
а тем самым и решений
с произвольной
которое эквивалентно системе
Согласно теореме Ляпунова (§ 2, глава VI), нулевое решение этой системы асимптотически устойчиво. Это означает, что все решения системы (3.12), начинающиеся в окрестности начала координат, обладают свойством
Докажем эту теорему Пуанкаре. На основании (3.13) имеем
Покажем, что уравнению (3.14) можно удовлетворить формально степенным рядом (3.13), т. е. покажем, что можно найти коэффициенты этого ряда или частные производные от у по и и
Отсюда при
Дифференцируем (3.14) по
При
Найдем производные второго порядка от у по u и
Дифференцируем (3.15) по и и полагаем
Дифференцируем (3.15) по и и полагаем
В равенствах (3.19), (3.20) и (3.21) в правой части стоит сумма произведений производных первого порядка от
Переносим первое слагаемое справа в левую часть и полагаем
Здесь справа стоит сумма произведений частных производных от
Затем при
откуда найдем
Если в (3.14) величина а, коэффициенты ряда Теперь рассмотрим уравнение (3.1) при условии
которое можно представить в виде сходящегося степенного ряда от величин
т. е.
Имеем
поэтому уравнение (3.1) можно записать так:
или
Ф(и, Будем искать коэффициенты ряда (3.25). Дифференцируем (3.26) по и:
Полагая
откуда
Дифференцируем (3.26) по
Полагая
Полагая
Дифференцируем
При
В равенствах (3.31) и (3.33) не выписаны члены, содержащие частные производные от
и будем считать
Определяя теперь, согласно (3.33), все Таким образом, получаем
Здесь
где
и покажем, что положительные числа
так как при Сначала, полагая
Здесь
откуда видим, что
Здесь
Отсюда следует, что в ряде (3.37) величины
Именно, имеем
Здесь
В чем в первой степени. Все остальные величины, входящие в
убывает при
Здесь убьюает при
содержит
где Пусть здесь
остается убывающей при Пусть теперь в (3.43) увеличивается на единицу
будет убывающей при Итак, мы имеем сходящийся ряд (3.37) с положительными убывающими
при достаточно малых
чем и заканчивается доказательство теоремы Пуанкаре о представлении решений уравнения (3.11) в виде сходящегося степенного ряда (3.13). Напоминаем, что здесь коэффициент при и произвольный Эту теорему Пуанкаре доказал в 1878 г. Но она содержится и в общей теореме Ляпунова. Покажем это. В § 12 главы III мы отметили, что если вещественные части
где При этом
т. е. элементарный делитель этой матрицы при
Но отсюда имеем
а это и совпадает с (3.13). К этой главе можно рекомендовать работы [2, 3, 26, 27].
|
1 |
Оглавление
|