§ 3. Теорема Пуанкаре

Рассмотрим уравнение

где — положительное нецелое число. Мы видели, что в этом случае существует единственное голоморфное решение

Теперь покажем, что в этом случае уравнение (3.1) имеет бесконечное число неголоморфных решений, обладающих свойством (3.2). Запишем уравнение (3.1) в параметрическом виде

Если положить

то для и и получим уравнения

Так как X не является целым положительным числом, то имеем частный случай системы (12.13) (глава III) и здесь

при целых

Поэтому, согласно (12.15) главы III, найдем в виде рядов

сходящихся при малых Следовательно, для х и у имеем

откуда

Полагая произвольную постоянную получаем единственное голоморфное решение, обладающее свойством (3.2):

Уравнения (3.5) доставляют общее решение в параметрическом виде в окрестности точки поэтому и (3.6) есть общее решение в окрестности точки Но при это решение не будет вещественным 2, т. е., кроме голоморфного, нет вещественного решения при Заметим теперь, что условия (3.4) не выполнены, если — целое 2, так как будем иметь при Положим в этом случае Тогда уравнение (3.1) принимает вид

или, так как

Это уравнение типа (2.1) с поэтому имеем бесконечное число голоморфных решений

а тем самым и решений

с произвольной Это не отличается от решений вида (3.6). Нам осталось рассмотреть уравнение (3.1) лишь в случае

которое эквивалентно системе

Согласно теореме Ляпунова (§ 2, глава VI), нулевое решение этой системы асимптотически устойчиво. Это означает, что все решения системы (3.12), начинающиеся в окрестности начала координат, обладают свойством при Отсюда следует, что все решения уравнения (3.11), начинающиеся в окрестности начала координат, обладают свойством (3.2). Согласно доказанной нами теореме, ряды Пикара для уравнений (3.12) или для уравнения (3.11) сходятся при всех или соответственно при Но еще Пуанкаре [83] показал, что эти решения уравнения (3.11) являются голоморфными от величин е. представимы сходящимися рядами

Докажем эту теорему Пуанкаре. На основании (3.13) имеем

Покажем, что уравнению (3.14) можно удовлетворить формально степенным рядом (3.13), т. е. покажем, что можно найти коэффициенты этого ряда или частные производные от у по и и при Дифференцируем (3.14) по u:

Отсюда при найдем

Дифференцируем (3.14) по

При имеем поэтому

Найдем производные второго порядка от у по u и Дифференцируем (3.17) по у и полагаем

Дифференцируем (3.15) по и и полагаем

Дифференцируем (3.15) по и и полагаем

В равенствах (3.19), (3.20) и (3.21) в правой части стоит сумма произведений производных первого порядка от и от у по u и V. Поэтому последовательно из (3.19), (3.20) и (3.21) найдем Дифференцируем теперь раз по и и раз по

Переносим первое слагаемое справа в левую часть и полагаем

Здесь справа стоит сумма произведений частных производных от и от у по порядка меньшего, чем частные производные, стоящие слева. Отсюда видим, что последовательно определяются все частные производные от у по и и однозначно, а остается произвольной. В самом деле, пусть . Тогда при всевозможных значениях найдутся так. Сначала, полагая в находим из равенства

Затем при получим

откуда найдем при

Если в (3.14) величина а, коэффициенты ряда и С в (3.18) положительные, то, как видно, и все выйдут положительные.

Теперь рассмотрим уравнение (3.1) при условии Мы уже знаем, что в этом случае существует решение в виде сходящегося степенного ряда от

которое можно представить в виде сходящегося степенного ряда от величин

т. е.

Имеем

поэтому уравнение (3.1) можно записать так:

или

Ф(и,

Будем искать коэффициенты ряда (3.25). Дифференцируем (3.26) по и:

Полагая получаем

откуда

Дифференцируем (3.26) по

Полагая получим тождественное равенство Дифференцируем раз по u:

Полагая получаем равенство (первое слагаемое справа переносим влею)

Дифференцируем раз по у:

При получим равенство

В равенствах (3.31) и (3.33) не выписаны члены, содержащие частные производные от и от у по и и порядка меньшего, чем слева. Заметим еще, что если возьмем в коэффициенты положительными, то справа в (3.33) будет сумма произведений частных производных от у по и и с положительными коэффициентами. Возьмем в (3.28)

и будем считать . Тогда

Определяя теперь, согласно (3.33), все так же, как мы это делали, находя производные из (3.22), т. е. полагая получаем все положительными.

Таким образом, получаем

Здесь вычислены в точке и будут положительными. Ряд (3.36) сходится при малых Величины определяются через коэффициенты ряда . Образуем теперь из (3.36) ряд

где

и покажем, что положительные числа убывают при Определяя согласно (3.33), видим, что эти числа убывают при если убывают все предыдущие и если как, согласно (3.33),

возрастает при Исключением здесь будут

так как при знаменатель убывает. Будем находить

Сначала, полагая получаем

Здесь как легко видеть, не зависит от поэтому убывает при Затем определяем , полагая

откуда видим, что убывает при Теперь находим полагая в

Здесь убывает при но и убывает при Однако, согласно (3.38), величина

Отсюда следует, что в ряде (3.37) величины вают при Рассмотрим теперь Согласно (3.33), будем определять их в такой последовательности:

Именно, имеем

Здесь убывают при знаменатели возрастают, откуда следует, что убывают при Далее имеем

В , очевидно, входит величина но не более

чем в первой степени. Все остальные величины, входящие в или убывают при или не зависят от . Но тогда, очевидно, согласно (3.42),

убывает при . Рассмотрим

Здесь убьюает при Легко видеть, что

содержит не более чем в первой степени. Отсюда следует, что убывает при следовательно, убывает и . Предположим теперь, что убывает при , когда Покажем, что тогда убывает и при . Прежде всего обращаем внимание на то, что

где — многочлен от величин при

Пусть здесь увеличивается на единицу. Тогда и а в (3.43) увеличивается на единицу (в каждом слагаемом только одно из а увеличивается на единицу). Тем самым в (3.43) не появляются элементы с увеличенными значениями и, следовательно, величина

остается убывающей при

Пусть теперь в (3.43) увеличивается на единицу . Тогда в каждом слагаемом суммы (3.43) одно из увеличивается на единицу, но

будет убывающей при так как появляется и дополнительный убывающий множитель . Тем самым наше утверждение относительно убывания при доказано при всех пир.

Итак, мы имеем сходящийся ряд (3.37) с положительными убывающими при Отсюда следует, что сходится

при достаточно малых так как его коэффициенты по модулю не превосходят сходящегося ряда (3.37) при Теперь еще замечаем, что

чем и заканчивается доказательство теоремы Пуанкаре о представлении решений уравнения (3.11) в виде сходящегося степенного ряда (3.13). Напоминаем, что здесь коэффициент при и произвольный коэффициент при определяется, согласно (3.34), при .

Эту теорему Пуанкаре доказал в 1878 г. Но она содержится и в общей теореме Ляпунова. Покажем это.

В § 12 главы III мы отметили, что если вещественные части матрицы системы (12.8) отрицательные, т. е. то, согласно теореме Ляпунова, имеем решение в виде (12.9) (§ 12, глава III)

где произвольные постоянные (малые по модулю), а постоянные, или полиномы от

При этом могут быть непостоянными только в том случае, когда либо элементарные делители матрицы непростые, либо имеются соотношения при целых положительных Уравнение (3.11), как мы видели, эквивалентно системе (3.12), матрица Р которой есть

т. е. элементарный делитель этой матрицы при непростой и Следовательно, имеем

Но отсюда имеем

а это и совпадает с (3.13).

К этой главе можно рекомендовать работы [2, 3, 26, 27].