ГЛАВА XI. РАЗНОТЕМНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

§ 1. О стационарных интегралах

Рассмотрим систему

Пусть

— дифференцируемый интеграл уравнений (1.1), т. е.

Как мы заметили ранее, иногда знание даже одного из интегралов уравнений (1.1) позволяет видеть важные свойства решений уравнений (1.1). Именно, решение

начавшись на поверхности (1.2), не сходит с этой поверхности при всех Предположим, что интеграл (1.2) стационарный, т. е. не содержит t:

Если (1.5) — плоскость, то мы видим, что всякое из решений (1.4) лежит в одной из плоскостей (1.5) при соответствующем значении С (которое определяется начальной точкой Если - ограниченная поверхность при всяком С, то все решения уравнений (1.1) ограничены. Или, может быть, они ограничены при достаточно малом С. Например, для системы

интегралом является

Отсюда имеем

При имеем для каждого х два значения у и при будет Если же то при где определяется равенством

или

будет

Таким образом, при кривые (1.6) замкнутые, а при не являются такими. Отсюда следует, что если начальные значения такие, что в то решение рассматриваемой системы будет ограниченным. В этом случае оно будет и периодическим (см. § 4 этой главы). Для системы

интегралом будет

Эта кривая будет замкнутой, так как при имеем Для х из промежутка значение у мнимое, т. е. кривой нет. Но при снова имеем вещественное у. Другими словами, равенство (1.9) представляет собой две (или, если угодно, и три) кривые (рис. 16). Легко видеть, что решения, начинающиеся в области будут замкнутыми. Эта область ограничена параболами

Может случиться, что поверхности (1.2) равномерно ограничены при всех Тогда решения системы (1.1) также ограничены при всех Например, для системы

интегралом будет

откуда видим, что все решения системы (1.10) будут ограничены. Наконец, может случиться и так, что (1.2) при всяком

замкнутая поверхность, диаметр которой стремится к нулю при Тогда все решения системы (1.1) обладают свойством при

Если в системе (1.1) справа нет, то независимых интегралов можно построить так, что из них не будут содержать

Рис. 16

Действительно, система имеет вид

или в симметричном виде

откуда и следует утверждение, так как первые уравнений имеют интегралы

Отметим еще, что иногда ограниченность и продолжимость решений системы (1.1) можно увидеть по функции, напоминающей функцию Ляпунова.

Лемма 1.1. Дана система дифференциальных уравнений

где непрерывные функции в области определяемой непрерывной функцией неравенством

с границей

Пусть в этой области и на границе выполнено условие существования решений. Предположим,

в окрестности граничных точек области и на границе. Тогда непрерывное решение системы (1.15), начавшись в области в момент не выходит из области при всех пока оно существует.

Доказательство. Предположим, что движение начавшись в области попадает в конечную точку границы области Тогда для имеется промежуток значений при которых было Из неравенства

имеем

т. е. движение начавшись в области не может выйти на границу этой области. Если теперь область в пространстве равномерно ограничена, то и движение ограничено. Если стягивается в точку х при то и

Пример. где — функции, непрерывные при всех значениях и удовлетворяют условию

при

Пусть Тогда имеем

В силу (1.19) в области имеем поэтому движение не выходит на границу Но область стягивается в точку при поэтому и при если

Теперь мы докажем несколько общих предложений относительно интегралов. Рассмотрим систему линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами 1

Мы уже видели, что эта система допускает независимых интегралов (1.14), не зависящих от Найдем эти интегралы. Запишем (1.20) в матричном виде

В каждой строчке матрицы X стоит решение уравнений (1.20). Линейная система уравнений

называется сопряженной по отношению к (1.21). В каждом столбце матрицы У стоит решение уравнений (1.22). Легко видеть, что

Действительно,

Из (1.23) следует

Отсюда видим, что все элементы матрицы постоянные. Рассмотрим элементы первой строки этой матрицы. Пусть элементы первой строки матрицы X, а элементы столбца матрицы У:

Здесь — полиномы степени не выше чем где кратность матрицы Р. Таким образом, элементы первой строчки матрицы С имеют вид

или

Эти равенства доставляют нам независимых интегралов уравнений (1.20), так как левые части постоянные вдоль решения Независимость же следует из того, что в (1.23) матрица С — произвольная постоянная, тем самым произвольные 4.

Составим из (1.25) новые интегралы вида

где постоянные.

Известно, что каждый корень порождает столько отдельных групп решений, сколько ящиков Жордана появляется в каноническом виде матрицы Р с корнем И в каждой группе решений имеется решение с постоянными Пусть теперь в (1.26) входят только такие решения которых — постоянные. И возьмем такие что

Тогда интеграл не будет зависеть от Всего независимых от интегралов уравнения (1.20), как мы видели, имеем Эти интегралы можно было бы получить так. Преобразуем систему (1.20) линейной заменой неизвестных К виду

Тогда имеем систему

откуда получиц стационарных интегралов уравнений (1.20). Или, иначе, из (1.28) имеем.

Отсюда получим интегралы вида (1.25), где будет Здесь предполагаем А вещественным. Но можно ли все не зависящие от интегралы получить в виде сумм интегралов при условии И можно еще поставить такой вопрос: как найти голоморфные независимые интегралы системы (1.20), не содержащие Пусть

где однородный полином степени, — голоморфный интеграл уравнений (1.20), т. е.

Отсюда следует, что - отдельно интегралы, т. е.

Пусть в (1.26)

При фиксированном может быть и несколько систем для которых имеем (1.33). Складывая соответствующие таким получаем интеграл

Здесь постоянные. В частности, можно взять

Тогда

Здесь постоянные и нужно найти так, чтобы левая часть (1.36) не содержала если желаем иметь интеграл, не содержащий Очевидно, однородные полиномы в (1.31) мы получим из (1.36) при где — положительные целые числа или нули.

Если (1.36) окажется комплексным, то, очевидно, отдельно вещественная и мнимая части будут интегралами. При этом, очевидно, независимых может быть не более Сначала мы должны взять все такие, что имеем (1.35), тогда получим независимые интегралы

если число клеток Жордана с нулевым равно т. Затем получим интегралы

при условии и

и вообще

Таким образом, все независимые полиномиальные интегралы получим в виде (1.40), т. е. в виде произведения полиномов первой степени

Если нет среди таких, что при целых положительных или нулях то нет и полиномиальных и голоморфных интегралов. Впрочем, уже из теорема

Ляпунова ([57] глава II, п. 19) следует, что однородный полином может быть интегралом только тогда, когда имеем

Пример. Дана система

В матричном виде эту систему запишем так:

где матрица

Сопряженная система или в развернутом виде

Имеем интегральную фундаментальную матрицу системы (1.43) в виде

Здесь решение помещено в строчке. Согласно предыдущему, имеем интегралы в виде

Чтобы найти полиномиальные интегралы, надо найти целые такие, что

Если то имеем интеграл

Другие удовлетворяющие (1.45), могут быть только вида но тогда получим интеграл вида

это не новый интеграл, он является функцией от интеграла (1.46). Интеграл (1.46) имеет вид

Пример. Система имеет два полиномиальных интеграла

Примечание. В работе 1 для системы (1.20) с вещественными постоянными в случае получены простые необходимые и достаточные условия наличия определенно положительных квадратичных интегралов. Например, для системы порядка необходимо и достаточно выполнение одной из следующих совокупностей условий:

I. А) Коэффициенты в характеристическом уравнении

рассматриваемой линейной системы при четных степенях X положительны, а при нечетных степенях равны 0;

Б) Ранг матрицы Р равен 2.

II. Выполнено условие А) и система

имеет ненулевые решения,

III. Выполнено условие А), ранги систем равны 3, а