§ 13. Существование дифференцируемых полных интегралов

Пусть задана система уравнений

так, что в некоторой области выполнены условия теоремы Пикара. Например, есть область, окружающая точку Предположим, что

есть область, в которой имеем общее решение

Тогда по определению общего решения для всякой точки

из (13.2) имеем

Во всех рассмотренных нами случаях функции (13.2) и (13.3) имели вид

где фиксировано, а произвольные постоянные. Если правые части уравнений (13.1) в области имеют непрерывные частные производные, то, как мы доказали, имеют их и функции (13.4) по если эти величины рассматривать как параметры. Но тогда и функции (13.5) имеют частные производные по

Мы показали ранее, что если имеем общее решение (13.2), то функции (13.3) будут интегралами уравнений (13.1). Из (13.4) и (13.5) видим, что если правые части уравнений (13.1) имеют непрерывные частные производные по всем аргументам, то интегралы (13.5) будут дифференцируемыми.

Таким образом, мы доказали существование независимых дифференцируемых интегралов для системы (13.1) в области существования общего решения, если правые части уравнений (13.1) имеют непрерывные частные производные по всем аргументам. В двух предыдущих параграфах мы указали многие системы, для которых существуют общие решения в окрестности точки или в большой области, или даже во всей области задания дифференциальных уравнений. Тем самым мы указали системы, для которых существуют (и даже можно построить) полные интегралы (т. е. независимых интегралов).