§ 4. Эвристический метод преобразований

Мы видели, как можно найти из общего решения и как можно найти как особое решение уравнения (1.7), что не связано с интегрированием заданного уравнения (1.1). Но это особое решение порождается иногда не уравнением (1.1), а выбором в уравнении (1.7) (или в уравнении Это же мы найдем как частное решение, если изменим Можно, однако, к нахождению подойти несколько иначе, эвристически, так, что оно будет появляться в связи с особым или граничным решением самого уравнения (1.1) и будет диктовать определение Чтобы увидеть это, рассмотрим уравнение

эквивалентное уравнению

или, согласно (1.4),

Может случиться, что здесь

или

Предположим теперь, что на кривой

имеем

Следовательно, чтобы увидеть, будет ли этот случай, поступаем так: ищем кривую (4.7), на которой будет Затем проверяем, будет ли для найденного выполняться (4.4), где И если это имеем, то из (4.2) находим интеграл уравнения (4.1)

Пусть теперь на кривой (4.7) имеем

Тогда надо проверить, не будет ли для выполняться равенство

т. е.

Если такое равенство имеем, то уравнение (4.1) эквивалентно уравнению

откуда имеем интеграл уравнения (4.1)

Таким образом, равенства или иногда позволяют найти функцию с помощью которой найдем интеграл уравнения (4.1).

Пример.

Здесь на кривой поэтому пробуем взять

Следовательно, имеем случай (4.4) с и уравнение (4.2) имеет вид

откуда и получаем интеграл (4.9): или

Предположим теперь, что имеем уравнение (4.1) в виде

Как видим, уравнение (4.16) однородное. Если

то при

будет

Если

имеем

Таким образом, если

или

то за можно пробовать брать

Если при этом окажется, что

то мы имеем уравнение (4.16), а тогда подстановка

приводит к уравнению с разделяющимися переменными. Пример.

Здесь при Полагая будем иметь

т. е.

Мы получили (4.25). Следовательно, согласно (4.16), имеем — однородное уравнение,

Отсюда получим

После интегрирования и преобразований найдем

Мы получили решение в параметрическом виде, где

Решения в соответствии с теорией однородных уравнений не будут особыми, но будут граничными, они получаются при

Из теории однородных уравнений следует, что решения могут быть особыми или граничными для некоторой области, в которой рассматривается уравнение (4.16). Поэтому естественно искать из уравнений (4.19) или (4.21). Но, как мы видели ранее, особое решение иногда можно найти и из равенства

так как здесь могут быть нарушены условия единственности решений. Отсюда следует, что иногда найденное особое решение позволяет проинтегрировать уравнение при помощи подстановки которая приводит к уравнению с разделяющимися переменными для и и (и однородному относительно у и

Пример.

Здесь

при т. е. можно пробовать

т. е. имеем (4.25), поэтому полагаем Следовательно, согласно (4.25), получим

и здесь Но можно в (4.29) положить после чего получим

откуда получаем общее решение

и попутно восстанавливаем особое решение или Впрочем, при оно будет особым, а при других значениях граничным.

Пример.

Здесь на криюй Испытываем на условие (4.4), (4.5):

т. е. (4.4) при или, согласно (4.2),

где С — произвольное постоянное.

Пример.

Здесь на кривой Полагаем и проверяем условие (4.4):

Таким образом, имеем (4.25):

Это однородное уравнение. Полагая получаем общее решение в параметрическом виде

Здесь где — корни уравнения

— граничные кривые.

Можно поступить иначе. В соответствии с (4.23) здесь можно положить Получим

откуда

и прежние граничные интегральные кривые теперь запишутся так: где — корни уравнения