§ 4. Доказательство существования и построение предельных циклов по методу Каменкова

Рассмотрим снова уравнение (3.1):

где — полиномы степени

— однородные полиномы степени. Будем искать условия существования изолированных периодических решений по методу Каменкова. Положим в

Введем в рассмотрение функцию V (Ляпунова)

где — подлежащие определению непрерывные периодические функции с периодом По теореме из неявных функций существует V, определенное равенством (4.5) и при малых представимое в виде

Здесь При малых будет положительным при всех так -периодические и тем самым ограниченные, Кривая в плоскости (тем самым и в плоскости замкнутая, так как — периодические (в силу Но это не интегральные кривые уравнений (4.1). Как видно из (4.5), при . Заметим еще, что две замкнутые кривые при малых не имеют общих точек и если то кривая находится внутри кривой при любых

Действительно, если бы эти кривые пересекались, то из (4.5) имели бы

откуда

что при малых невозможно. Пусть теперь , где — решение уравнений (4.3). Если здесь в силу уравнений (4.3), то точки пересекают кривые изнутри вовне, а если , то наоборот извне во внутрь. Если же то — интегральные кривые уравнений (4.3).

Дифференцируя (4.5) по получаем:

Здесь

при малых Отсюда на основании (4.3) имеем

Теперь здесь справа нужно заменить согласно (4.5). Как видим, правая часть этого уравнения будет полиномом степени относительно Это равенство можно записать так:

Учитывая значение и выделяя член, содержащий в первой степени, (4.7) запишем в виде

где Ф — многочлен от своих аргументов, который обозначим через Выберем так, чтобы коэффициенты при в квадратных скобках были постоянными т. е. положим

где произвольная постоянная. Здесь периодические с периодом функции, поэтому выберем постоянные согласно

Тогда и будут периодическими с периодом Так как — полиномы от то если — полином нечетной степени, очевидно, будет Если же -четной степени, то, вообще говоря, . Как видно из порождается и является однородным полиномом степени от Отсюда видим, что однородные полиномы четной степени порождают нечетной степени, вообще говоря, и порождаются нечетными полиномами. Положим еще тогда Таким образом, (4.8) имеет вид

где

и

если четное.

Замечание 1. Легко видеть, что

Замечание 2. Пусть при Тогда при всех достаточно малых знак V при определяется знаком при всех так как ограничена. Пусть Если при всех , то при всех VV и достаточно малых Это означает, что все замкнутые кривые движениями уравнений пересекаются изнутри вовне. Если точка (0, 0) для уравнений (4.1) является при этом асимптотически устойчивым фокусом, то в окрестности (0, 0) замкнутые кривые окружающие (0, 0), пересекаются движениями извне во внутрь. В силу принципа кольца в этом случае уравнения (4.1) между кривыми имеют периодическое решение, окружающее, точку (0, 0), так как при достаточно малом в этом кольце согласно теореме 2.1, нет точек покоя уравнений (4.1).

Если при будет точка (0, 0) — неустойчивый фокус, то в кольце между кривыми также есть периодическое решение, окружающее точку (0, 0).

Теперь предположим, что V — положительный корень нечет ного порядка уравнения где Пусть Тогда при будет будет , где — достаючно малое. Отсюда следует, что при достаточно малых Это означает, что кривая пересекается движениями уравнений (4.1) изнутри вовне, а кривая — извне во внутрь. Отсюда следует, что в кольце между кривыми существует периодическое решение. Если оно единственное, то, очевидно, неустойчивое. Если (У) то кривая пересекается интегральными кривыми извне во внутрь, а кривая изнутри вовне, поэтому и в этом случае в этом кольце имеется периодическое решение. При кольцо сжимается к кривой Но при этом и так как для неравенств

нужно брать все меньшие

Теорема 4.1. Если V — положительный корень уравнения нечетного порядка, то уравнения (4.1) при малых имеют периодическое решение приближающееся при 0 к замкнутой кривой которая сама при приближается к окружности так как

Заметим, что корни уравнения не зависят от

Здесь — кривая (окружность), соответствующая периодическому решению уравнений (4.1) при к которому и приближается периодическое решение при

Рассмотрим подробнее случай Отметим сначала, что из (4.5)

и из

следует

Подставляя в квадратных скобках значение получаем (как и

или (как и (4.11))

согласно тому, что (см. после (4.10)). Отсюда с точностью до первого порядка

В рассматриваемом случае

Подставляя значение из (4.15) в (4.13) или в получаем уравнение для определения Подставляя это значение V в (4.15), получаем — решение уравнений (4.3) и тем самым (4.1). Подставляя это значение во второе уравнение (4.3), получаем Если то В этом случае имеем периодическое решение уравнений (4.3) (тем самым и и период Т этого решения относительно в виде

Предположим, что, согласно теореме (4.1), имеем периодическое решение (может быть не одно) в окрестности кривой После подстановки значения из (4.15) в (4.13) мы имеем уравнение для определения

где — относительно периодическая с периодом При имеем то есть Рассмотрим Это решение предельного уравнения при определено при всех При достаточно малом имеем решение уравнения определенное в промежутке с произвольным постоянным М, с начальвым значением и представимое в виде

при достаточно малых Это следует из теоремы Пуанкаре—Ляпунова. Так как вблизи существует периодическое решение, то этому решению соответствует определенное равенством (4.15) и, следовательно, периодическое с иодом

Поэтому при малых периодическим должно быть и с периодом Оно представимо в виде где Именно таком виде его надо искать. При имеем Поэтому можно непосредственно из уравнения (4.12) (полученного из искать формальное решение

которое и существует, и этот ряд сходится при малых Может быть, определяется неоднозначно, так как нет гарантии, что вблизи кривой имеется только одно периодическое решение. Из (4.14) можно найти V приближенное и подставить в (4.15). Получим приближенное значение

Подставляя его во второе уравнение (4.3), находим откуда получим приближенное значение в неявном виде Если положительный корень нечетной степени правой части (4.14), то периодическое решение есть. Приближенное значение для этого ериодического решения имеем в виде и приближенное чение для ответствующего в виде

Если то вместо (4.114) будем иметь

так как

Здесь возможны случаи

Рассмотрим систему

Согласно (4.10),

Система

является первым приближением уравнений (4.17) и х. ч. этой системы суть

При малых будут комплексными, поэтому при малых вопрос об устойчивости решения решается знаком При решение асимптотически устойчивое и при оно неустойчивое (асимптотически устойчивое при Как видим, знаки совпадают. Пусть т. е. решение асимптотически устойчиво, и пусть, согласно (4.16), кривые пересекаются движениями уравнений (4.17) изнутри вовне. Тогда в случае IV в кольце, ограниченном кривыми малое, существует периодическое решение. Но чтобы был случай IV, согласно необходимо, чтобы было А так как то невозможно.

Таким образом, в случае или случай IV невозможен. Невозможен здесь и случай I, так как при из не могут быть одного знака, что должно быть для случая I. Не может быть и случай II, так как для этого должно быть Но сами по себе случаи I и II возможны (без требования Пусть и имеем случай Тогда имеем положительные корни нечетной степени уравнения Согласно теореме 4.1, система (4.17) при малых имеет периодические решения вблизи кривых На основании теоремы 4.1 при малых в случае III вблизи также периодическое решение есть. Но случай III возможен и при поэтому периодическое решение существует и на том основании, что кривые пересекаются движениями изнутри вовне и (0, 0) асимптотически устойчиво. Но может быть это то же периодическое решение, которое имеем и на основании теоремы 4.1 вблизи кривой

Пример:

Здесь

Следовательно, согласно (4.16),

Согласно теореме 4.1, при малых имеем периодическое решение вблизи кривой Но здесь при всяком имеем периодическое решение которое является предельным циклом. Здесь, как легко видеть, , поэтому, согласно (4.9),

и

т. e. кривая есть — окружность.

Рассмотрим тот случай системы (4.17), когда

Здесь при малых — чисто мнимые, причем Поэтому имеем

Пусть теперь Тогда . Согласно теореме 4.1, при малых в окрестности кривой имеем периодическое решение. Может быть периодическое решение и в том случае, когда