ГЛАВА V. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Общая теория однородных систем

Рассмотрим систему

где — непрерывные функции в По теореме Пикара эта система имеет единственное решение задачи Коши

где -произвольные числа, а взято из промежутка Это решение будет непрерывным и определено в промежутке Если, в частности, то в силу единственности Пусть имеем два решения Здесь в первый индекс означает номер решения, а второй — номер неизвестной функции. Поэтому

Легко убедиться, что также решение при произвольных постоянных Действительно, подставляя вектор у в (1.1), получаем

Но в силу (1.2) эти равенства выполнены. Отсюда следует Теорема 1.1. Если имеем решений то и

— решение при произвольных постоянных .

Линейно зависимые и независимые решения. Рассмотрим решений системы (1.1):

Эти решения называются линейно зависимыми в промежутке если существуют постоянные не равные одновременно нулю, при которых

Если только отличны от нуля, то первые решений линейно зависимы, т. е. одно из этих решений, например представимо линейно через остальные

Если таких постоянных нет, то решения (1.4) называются линейно независимыми.

Необходимое условие линейной зависимости систем функций (1.4) (необязательно решений). Пусть систем функций (1.4) линейно зависимы, т.е. имеем (1.5), где имеются отличные от нуля. Таким образом, ой, есть нетривиальное решение алгебраических линейных однородных уравнений (1.5), что, как известно из алгебры, возможно лишь при условии

Это и есть необходимое условие линейной зависимости систем функций (1.4).

Определитель называется определителем Вронского. Справедлива

Лемма 1.1 Если решений уравнений (1.1), то решения (1.4) линейно зависимы и

Доказательство. Так как то при из уравнений (1.5) найдем нетривиальное решение При таких значениях составим, согласно теореме 1.1, решение

которое в силу того, что найдены из (1.5) при имеет начальные значения

Но тогда имеем т.е. имеем равенства (1.5) при всех х, если там Другими словами, из следует, что решения (1.4) линейно зависимы, а тогда имеем и (1.6).

Теорема 1.2. Для того чтобы решения (1.4) были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы в какой-нибудь точке промежутка выполнялось условие

при этом будет и

Действительно, если решения (1.4) линейно независимы, то имеем (1.9), так как иначе, согласно лемме 1.1, они были бы линейно зависимы. Пусть (1.9) выполнено, тогда решения (1.4) линейно независимы, так как в противном случае было бы (1.6), а не (1.9). Согласно лемме 1.1, если имеем (1.9), то и

Покажем теперь, что система (1.1) имеет линейно независимых решений (1.4). По теореме Пикара можно построить решений с начальными значениями

с определителем Вронского

откуда, согласно теореме 1.2, и следует, что они являются линейно независимыми. Из теоремы Пикара следует, что существует и бесконечное множество систем решений (1.4), которые будут линейно независимы, так как можно бесконечным числом способов построить решения (1.4) с

Линейно независимые решения (1.4) называются фундаментальной системой решений.

Теорема 1.3. Если решения (1.4) линейно независимые, то

— общее решение.

Доказательство. Согласно теореме 1.2, здесь при любом из промежутка Отсюда следует, что при и произвольных из (1.10) можно найти (и притом единственным образом). Значит, всегда можно найти такие при которых (1.10) будет решением любой задачи Коши, откуда и следует, что (1.10) есть общее решение во всей области задания уравнений (1.1).

Следовательно, уравнения (1.1) всегда имеют линейно независимых решений, но не могут иметь таких решений. Действительно, пусть имеем решения (1.4) и еще одно решение Тогда если решения (1.4) линейно независимые, то это последнее решение представимо в форме (1.10), т.е. будет линейно зависимо с (1.4). Если же (1.4) линейно зависимы, т.е. имеем где не все равны нулю, то уже одно из решений (1.4) представимо через остальные в форме (1.10).

Формула Остроградского

Доказательство. Производную от определителя Вронского можно записать так:

Из (1.1) имеем

Подставим это в столбец слагаемого в сумме. Тогда в этом определителе столбец имеет элементы, представляющие собой суммы слагаемых. Такой определитель равен

сумме определителей, в каждом из которых оставлено соответственно по одному слагаемому. Но все эти определители равны нулю, так как в столбце у них стоят элементы, с точностью до общего множителя совпадающие с элементами другого столбца. Отличным от нуля будет лишь один определитель, в столбце которого будут стоять элементы Этот определитель будет равен Следовательно,

откуда и получаем формулу Остроградского. Из формулы Остроградского видим, что значение не зависит от выбора решений (1.4). Значение определяется лишь значением Значит, если то и так как

если х лежит в области непрерывности коэффициентов лишь в том случае, если при т. е. если функция в точке х имеет разрыв.

Замечание. Из формулы Остроградского следует, что определитель Вронского (1.7) в главе IV можно найти по формуле

Чтобы это увидеть, достаточно уравнение (1.2) главы IV свести к системе уравнений (1.1) этой главы.