§ 2. Интегралы системы

Пусть система (1.2) задана в области так, что через каждую точку области D проходит, и притом только одно, решение. Предположим, имеется система функций

определенных в и такая, что при каждой системе постоянных из некоторой области С равенства

определяют решение, проходящее через соответствующую точку области Систему таких функций будем называть общим интегралом системы уравнений (1.2) в области

Замечание. При фиксированных из (2.2) мы, может быть, вообще найдем не одно решение, но одно, проходящее через точку

Пример. Интегралом здесь будет откуда найдем два решения:

Мы увидим далее, что при весьма широких предположениях относительно существует непрерывный общий интеграл в некоторой области В этом случае множество значений функций будет составлять связную область, т. е. это множество С такое, что если то и некоторая кривая, соединяющая точки , принадлежит С (область D также предполагается связной) (см. [97]).

Свойства функций (2.1).

- постоянные вдоль всякого решения (так как всякое решение определяется системой (2.2) при некоторых ).

II. Если дифференцируемы, то в

т. е.

или

Действительно, вдоль всякого решения — постоянные, поэтому вдоль всякого решения откуда и следует утверждение, так как вдоль всякого решения

III. Если имеем систему функций (2.1), определенных в области таких, что ранг матрицы

равен например,

в силу (1.2) (т. е. имеем (2.3)), то (2.1) — общий интеграл. Действительно, по известной теореме из неявных функций из (2.2) в силу (2.4) имеем

и вдоль этой кривой функции (2.1) постоянны, поэтому

откуда найдем

Так как в силу (1.2) (т. е. имеем (2.3)), то

Отсюда в силу (2.4) имеем

Равенства (2.5) имеем вдоль всякого решения системы (2.2), а (2.6) и тем самым (2.7) тождественно, следовательно, и вдоль рассматриваемых решений Так как правые части равенств (2.5) и (2.7) равны, то равны и левые части:

а это и есть система (1.2).

Другими словами, всякое решение системы (2.2) есть решение системы (1.2), т. е.

является общим интегралом. Каждая из функций (2.1) называется интегралом системы (1.2). Вообще функцию определенную в D и постоянную вдоль всякого решения системы (1.2), будем называть интегралом системы (1.2)

Теорема 2.1. Если — дифференцируемая функция и в силу (1.2), то — постоянная вдоль решений, т. е. является интегралом.

Действительно, подставим решение системы (1.2) в тогда

так как в силу (1.2). Следовательно, вдоль всякого решения и постоянно (так как вдоль решения

Иногда интегралом называют не функцию равенство

где С — произвольная постоянная из области тех значений которые она принимает в области Мы также будем функцию или равенство (2.8) называть первым интегралом.

Замечание 2.1. Если решение системы (1.2) проходит через точку то такое решение целиком расположено на поверхности

Это следует из того, что вдоль решения сохраняет постоянное значение.

Функции называются зависимыми, если имеется функциональная связь

где не зависит от Если же нет такой то называются независимыми. Если зависимые, то, исключая какие-нибудь переменных из равенств мы и получаем (2.9). Если при этом получается соотношение между содержащее еще и какие-нибудь из переменных то мы не имеем (2.9), и, следовательно, не будут зависимыми. Если первые интегралы

составляют общий интеграл, т. е. из (2.10) можно найти

при произвольных из некоторой области то независимые, т. е. нет Действительно, так как из (2.10) имеем (2.11), где — независимые (произвольные), то нет и так как иначе оказались бы зависимыми. Следовательно, нет Если, наоборот, есть т. е. зависимые, то из (2.10) при произвольных невозможно найти (2.11), так как здесь независимые (произвольные) и не может быть равенства

которое получаем из равенства

подставляя сюда значения из (2.11).

Таким образом, независимость (отсутствие и возможность разрешить относительно равенства (2.10) при произвольных значениях из области С — одно и то же.

К этому надо добавить следующее важное Замечание 2.2. Может случиться, что область значений определяемая областью и функциями такова, что невозможно выбирать произвольно. Например, это будет, если область D определяется равенством Может случиться, что, подставляя сюда значения (2.11), получаем Это означает, что множество значений определяемое областью

и функциями связано равенством не являются в области D произвольными. Но если независимые, то и тогда при значениях из области найдем (2.11) и исключение каких-нибудь из переменных из (2.10) не приведет к Такое соотношение возникает лишь при дополнительном равенстве, определяемом областью Другими словами, если независимые, то из (2.10) не следует соотношение может вытекать лишь из определения области А при произвольных из области равенства (2.10) остаются разрешимыми относительно Если же и это соотношение не совпадает с то из (2.10) нельзя найти так как иначе получим что не совпадает с

Пример. Дана система

в области Здесь Берем точку Находим из Подставим отсюда в область Получим Другими словами, в области D имеем Но интегралы независимы, так как, исключая отсюда, например, х, получаем

т. е. нет (так как — общее решение в области

Из анализа известна

Теорема. Пусть даны равенства (2.10), выполненные при где — постоянные. Тогда, если непрерывно дифференцируемые и

при то равенства (2.10) неявно определяют функции (2.11), принимающее значения при Эти функции непрерывно дифференцируемы в окрестности точки

Из предыдущего вытекает, что условие (2.12) во всей области D является достаточным условием того, что система первых интегралов (2.10) (дифференцируемых) независима и составляет общий интеграл системы (1.2). Впрочем, это уже отмечено в свойстве III.

Теорема 2.2. Если интегралы (2.10) независимы, т. е. можно найти функции (2.11), то всякий другой интеграл есть функция

Действительно, вдоль решения все интегралы постоянны. Подставим в функции (2.11). Тогда получим Си Так как Си вдоль решения постоянная, то сюда не входит х, и мы имеем Так как начальные значения можно взять произвольными, то Си произвольные (из области

Наоборот, если — интегралы, то и — интеграл при произвольной функции Действительно, вдоль решения постоянные, а тогда постоянным вдоль решения будет и .

Покажем теперь, что если известен один дифференцируемый интеграл системы (1.2)

то порядок системы (1.2) можно понизить на единицу (т. е. можно интегрирование системы (1.2) свести к интегрированию системы уравнений).

Доказательство. Вдоль решения все интегралы постоянны, поэтому связаны равенством (2.13.) на каждом решении при некоторой постоянной С. Пусть из (2.13) имеем единственное

Тогда, подставляя это в правые части первых уравнений (1.2), получаем

Отсюда найдем

тогда из (2.14) получим

Покажем теперь, что (2.16) и (2.17) составляют общее решение системы (1.2). Действительно, (2.16) и (2.17) удовлетворяют первым уравнениям системы (1.2) и (2.14), так как из этих уравнений они и получены. Покажем, что (2.16) и (2.17) удовлетворяют и последнему уравнению системы (1.2). По определению интеграла, из (2.13) имеем

Так как (2.14) получено из (2.13), то равенство, найденное из (2.14):

равносильно равенству (2.18). Здесь в -правые части уравнений (1.2) или получены из (2.16), что одно и то

Функции (2.16) и (2.17) удовлетворяют равенству

откуда и следует, что функции (2.16) и (2.17) удовлетворяют последнему уравнению (1.2).

Теорема 2.3. Если имеем независимых интегралов системы (1.2)

то интегрирование системы (1.2) сведется к интегрированию системы дифференциальных уравнений.

Доказательство. Так как независимы, то из равенств (2.20) можно найти, например,

Предположим, что интегралы (2.20) непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют условию

Тогда, как известно [97], равенства (2.20) определяют единственные значения (2.21) величин Подставляя значения (2.21) в последние уравнений системы (1.2), получаем уравнения

Отсюда найдем

На основании этих равенств из (2.21) получим

Равенства (2.24) и (2.25) составляют общее решение системы (1.2). Действительно, функции (2.24), (2.25) удовлетворяют тождественно последним уравнениям (1.2) и уравнениям (2.21) или (2.20), так как из этих равенств они и получены. Но они удовлетворяют и первым уравнениям системы (1.2). В самом деле, из уравнений (2.20) по определению интегралов имеем

т. e. этим уравнениям удовлетворяют тождественно. Но эти значения удовлетворяют тождественно и равенствам

так как значения (2.21) величин получены из (2.20) и имеют единственное значение в силу (2.22). Функции (2.24) и (2.25) тождественно удовлетворяют последним уравнениям системы (1.2) и (2.21), поэтому они удовлетворяют и уравнениям (2.27), т. е. имеем

что и требовалось доказать.

Мы доказали, что функции (2.24) и (2.25) удовлетворяют уравнениям (1.2). Покажем теперь, что равенства (2.24) и (2.25) разрешимы относительно произвольных постоянных Из (2.24), так как это общее решение уравнений (2.23), найдем

а из (2.21), откуда получены (2.25), найдем равенства (2.20), из которых и получены (2.21).

На основании (2.20) из (2.28) имеем

которые вместе с (2.20) и доставляют из (2.24) и (2.25). Таким образом, если мы нашли независимых интегралов системы (1.2), то интегрирование этой системы приводится к интегрированию уравнений. Если же мы нашли независимых интегралов, то тем самым нашли общий интеграл или общее решение системы (1.2), так как, очевидно, функции (2.11) и доставляют общее решение.

Для некоторых систем, комбинируя уравнения этой системы, можно найти такую функцию что в силу системы (1.2), откуда и получим интеграл

Пример. Полагая получаем в силу задания системы, поэтому

интеграл. О значении интегралов подробнее мы высказываемся в XI главе.

Замечание 2.3. Систему (1.2) можно записать в виде

Отсюда видим, что, обозначая систему (1.2) можно записать в симметричном виде

Если — интеграл этой системы, то

в силу этих уравнений. Так как где — значение отношений (2.31), то имеем

Таким образом, дифференцируемый интеграл системы (2.31) является решением уравнения в частных производных (2.32). Если — независимые интегралы, то всякий другой интеграл определенный в области (в области существования и единственности решений, так как именно в такой области мы рассматриваем интегралы), согласно будет функцией от

Следовательно, если — независимые решения уравнения (2.32), то всякое другое решение представимо в виде (2.33). Наоборот, если в — решения уравнения (2.32) и — дифференцируемая функция, то (2.33) — также решение уравнения (2.32).

Другими словами, формула (2.33) доставляет общее решение уравнения (2.32).

Заметим еще, что если и, — дифференцируемые интегралы (по системы (2.31), то и дифференцируема по Докажем это. Предположим еще, что выполнено (2.22) при Тогда из равенств

найдем

где дифференцируемы (см. [97]) по Положим здесь Тогда получим дифференцируемые такие, что при имеем При получает приращение, а остаются постоянные, поэтому имеем

Из

при получим

так как

существует, a

Следовательно, существует и Так же докажем, что существует

Рассмотрим систему (1.2), ее общее решение (1.5) и какое-нибудь особое решение. Поставим вопрос, можно ли получить особое решение из общего (1.5) при

Для решения этого вопроса подставим (1.5) в (1.2), считая функциями от

По определению функций имеем поэтому

Так как не все все постоянные, а это дает частное решение), то

Это равенство не должно быть тождеством относительно так как тогда бы невозможно было из (1.5) найти и подставить в для получения дифференциальных уравнений (1.2), что является основным требованием для функций (1.5). Следовательно, (2.35) является уравнением или пусть

А тогда из (2.34) на основании (2.35) получим

Отсюда найдем общее решение

При таких будет особым решением. Оно будет содержать произвольных постоянных Но уравнения (2.37) могут иметь и особые решения. Особые решения уравнений (2.37) будут содержать произвольных постоянных. Это рассуждение можно продолжить. Мы получим, вообще говоря, различные классы особых решений исходных уравнений (1.2) с произвольными параметрами, с параметрами и т. д., с одним параметром и без параметра. Заметим, однако, что из (2.34) не всегда получим дифференциальные уравнения (2.37), так как возможно

а тогда — постоянные.

И еще. Может быть, выполнены равенства которых имеем . Все это подробно рассмотрел В.А. Стеклов [94]. Но здесь можно повторить наши рассуждения относительно поведения интегралов, полученных из (1.5):

на границе области Или рассмотреть вопрос о качественной картине расположения интегральных кривых в окрестности границы области когда в окрестности границы нет общего решения.

Заметим теперь следующее. Часто систему (1.2) записывают в виде

где у и — векторы:

При такой записи формулировки определения общего решения системы уравнений записываются так же, как для одного уравнения. Например, функция

есть общее решение уравнения (2.38) в области если для всякой точки из найдем и подстановка этого значения С в равенство приводит к (2.38):