§ 3. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Разделим это равенство на произведение

Это уравнение с разделенными переменными: коэффициент при зависит только от коэффициент при зависит только от у. При переходе от уравнения (3.1) к уравнению (3.2) мы предполагали Если же

и

суть соответственно корни уравнений

то как так и являются решениями уравнения (3.1), в чем убеждаемся непосредственно подстановкой этих функций в уравнение (3.1).

Относительно решений (3.3) и (3.4) надо заметить следующее. Рассмотрим такую точку что в уравнении (2.8) или (2.9)

Тогда в точке производная не определена, поэтому в этой точке не определено и дифференциальное уравнение. Такую точку называют особой. Предположим, что существует решение уравнения (2.8) такое, что при и точка особая. Естественно в этом случае говорить, что решение примыкает к точке не проходит через эту точку. Впрочем, иногда будем говорить, что решение проходит через точку . Однако в этом случае слово «проходит» звучит уже условно.

Пусть теперь есть корень уравнения Тогда (3.3) есть решение уравнения (3.1). Если уравнение не имеет корней, то решение (3.3) будет определено при всех

тех значениях х, при которых определены функции Предположим теперь, что суть корни уравнения Тогда в точках дифференциальное уравнение (3.1) не определено. В этом случае решение (3.3) определено в промежутках

К точкам же решение (3.3) примыкает. Правда, в этом случае мы могли бы в точках доопределить положив и тогда решение (3.3) было бы определено при всех тех которых определены функции Аналогичное замечание можно сделать относительно решения (3.4), если оно есть.

Теперь будем искать решение уравнения (3.2). Интегрируя уравнение (3.2), получаем

где С — произвольное постоянное.

Мы получили общее решение уравнения (3.1) в виде (2.3), т. е. в неявном виде.

Можно записать (3.7) и в виде

Полагая здесь будем иметь

Это равенство определяет такое решение (может быть, не одно), которое проходит через точку Функции мы предполагаем такими, что интегралы в равенствах (3.7), (3.8) и (3.9) существуют. Может случиться, что и решения (3.3) или (3.4) входят в семейство

решений (3.7), т. е. получаются при частном значении постоянного С. Если же эти решения не получаются из (3.7) при частном значении произвольного постоянного С, то они будут особыми.

Выясним, когда решение (3.3) будет особым и неособым. Предположим, что в (3.8)

Тогда решение как можно условно сказать, получается из (3.8) при Решение (3.3) не будет особым. Отметим, что здесь функция

обладает свойством: при где — произвольная точка решения (3.3), определенного в промежутке Решение (3.3) лежит на границе области, где построено общее решение (интеграл) (3.8), так как после перехода надо взять другое Пусть теперь в (3-8)

Тогда

при . В этом случае нет постоянного С, при котором решение (3.3) получается из (3.8), и, следовательно, решение (3.3) особое. В этом случае в каждую точку решения (3.3) входит решение, содержащееся и в (3.8) при

т. е. через каждую точку особого решения (3.3) проходит два решения.

Замечание Н. М. Гюнтера [17]. Внимательно следя за процессом, переводящим дифференциальное уравнение в общее решение, мы не потеряем ни одного решения. Смысл этого замечания виден на примере получения решений (3.3) и (3.4).

Пример 1.

Делим это уравнение на

При переходе от уравнения (3.10) к (3.11) мы могли потерять решения

Это и есть решения типа (3.3) и (3.4) Интегрируя уравнение (3.11), получаем общее решение

где С — произвольная постоянная.

Но зададимся вопросом, в какой области определено дифференциальное уравнение (3.10), т. е. в какой области задано Очевидно, уравнение (3.10) задано в области

и, можно считать, в области

В области (3.16) дифференциальное уравнение удобнее записать в виде

или в виде

чтобы при вычислении вещественного значения избежать комплексных величин. В области (3.16) и общее решение (3.14) удобнее записать в форме

Впрочем, область (3.16) можно и не рассматривать, считая заданным равенством (3.10) только в области (3.15). В области

же или имеет комплексное значение, поэтому в этой части плоскости дифференциальное уравнение (3.10) не задано. Можно рассматривать дифференциальное уравнение (3.10) и в области

с исключенными точками в которых не определено. Причем удобнее считать на граничных линиях независимой переменной у, а на независимой переменной х и соответственно записывать уравнение в виде

Если прямые (3.12) исключим из области, где задано дифференциальное уравнение, то эти прямые не будут решениями, так как лежат вне той области, где рассматривается дифференциальное уравнение. Если же прямые включены в область задания дифференциального уравнения, то эти прямые будут, очевидно, решениями.

Пусть уравнение (3.10) рассматривается в области (3.20). Тогда решения (3.12) и (3.13) будут особыми, так как не могут быть получены из решения (3.14) при частном значении постоянного С. При этом решения (3.12) определены в области и решения (3.13) — в области - .

Найдем решение, проходящее через точку расположенную внутри области (3.20). Подставляя эти значения в (3.14), найдем то значение С, при котором решение (3.14) пройдет через выбранную точку Отсюда видим, что через эту точку проходит единственное решение, так как все решения, проходящие в области (3.15), содержатся в формуле (3.14).

Найдем теперь решение, проходящее через граничную точку . Подставляя эти значения х и у в (3.14), найдем . Следовательно, решение, полученное в неявной форме

проходит через точку . Но через эту точку проходит и решение . Таким образом, через точку (0, 1) проходит, по крайней мере, два решения. Легко убедиться, что и через всякую точку границы проходит, по крайней мере, два решения: одно и другое, полученное при частном значении С из (3.14). Впрочем, легко видеть, что через точки решения проходит и бесконечное множество решений. Именно, сначала мы рассматриваем интегральную кривую в промежутке

затем в промежутке интегральную кривую

из общего решения (3.19). Заметим, что эта интегральная кривая подходит к точке (0, 1) прямой под углом что видно из (3.18), т. е. в точке сохраняется непрерывность касательной интегральной кривой, склеенной из отрезка прямой и решения Ввиду произвольности и можно сказать, что через точки прямой проходит бесконечное число решений. Будем, однако, далее говорить, что решения проходящие через точку совпадают в окрестности этой точки, если имеется такое что при Если же решения проходят через точку при то будем говорить, что решения различные в окрестности точки После такого соглашения мы будем говорить, что через точку проходит решений если эти решения различны в окрестности точки . В этом смысле через точки прямой в рассмотренном примере проходят две интегральные кривые.

Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение

заданное в области исключая точки в которых у не определено. Причем у при мы полагаем равным нулю. Общее решение легко получаем в виде

Решениями будут и

Решения определены в промежутках — целые числа или нуль), а решение промежутках . Решения (3.22) при всех конечных С определены в промежутках

Пусть . Тогда при имеем и при имеем . Если то предельные значения у поменяются местами. Решение получаем из общего при Решение также получим из общего при в тех промежутках х, где и при

в тех промежутках х, где Собственно, получая из общего решения видим, что при и при имеем и при имеем что и позволяет принять при при соответствующих значениях Также можно считать, что решение получается из общего при

Мы видим еще, что при будет какое бы ни взять С. Отсюда следует, что к особой точке (0, 1) примыкают все решения (3.22), определенные в окрестности за исключением решения Можно ли доопределить в точке (0, 1) так, чтобы интегральные кривые можно было считать проходящими через точку Нет, так как

т. е. интегральные кривые (3.22) под разными углами входят в точку (0, 1) и не могут удовлетворять дифференциальному уравнению в точке (0, 1). Но можно так доопределить дифференциальное уравнение в точке (0,1), что одна, любая, интегральная кривая будет входить в точку (0, 1).

Все сказанное относительно точки (0,1) можно сказать и относительно точек Таким образом, через точку может проходить одна интегральная кривая уравнения (1.3), а может проходить и несколько. К особой точке может примыкать бесконечное множество решений.

Пусть общее решение (3.8) записано в виде

Мы получим некоторые заключения о поведении функций (решений уравнения (3.1)), определяемых этим равенством. Предположим, что здесь (и первое слагаемое в определено в промежутке При этом мы рассмотрим два случая:

Тогда в первом случае, если

то существует функция заданная равенством определенная в промежутке и обладающая свойством при Здесь может быть конечным и бесконечным. Может, конечно, случиться, что равенство определяет две функции такие, что Или, другими словами, имеется функция обладающая свойством и при и при Например, это имеем, если имеет вид

Здесь и при и при

Если имеем второй случай, то равенство содержит функцию обладающую свойством при , если только

Например, пусть имеет вид

Отсюда

или

Здесь

При имеем

Если — функция периодическая с периодом то функция , определяемая равенством периодическая с периодом