§ 10. Предельные циклы и построение решений вблизи предельных циклов

Пусть

есть периодическое решение системы

вблизи которого нет других периодических решений. Тогда (10.1) называется предельным циклом системы (10.2).

Рис. 17

Возможны три случая:

I. Все решения, начинающиеся вблизи (10.1), при приближаются к этому решению, как спирали (рис. 17).

II. Все эти решения удаляются при

III. С одной стороны (например, внешней) эти решения приближаются, а с другой стороны удаляются или наоборот.

В первом случае предельный цикл называется устойчивым, во втором — неустойчивым и в третьем случае — полуустойчивым.

В предыдущем параграфе периодические решения в обоих примерах являются неустойчивыми. Стоит вопрос о построении предельных циклов. Но пусть предельный цикл (10.1) найден. Как построить решения вблизи этого предельного цикла?

Введем в (10.2) новые неизвестные равенствами

Имеем

Система (10.4) имеет решение

Если предельный цикл (10.1) устойчивый, то, очевидно, решение (10.5) асимптотически устойчивое. Следовательно, если построим решение уравнений (10.4) с малыми начальными условиями

то (10.3) и будет решением уравнений (10.2) вблизи (10.1).

Здесь важно отметить следующее. Предположим, что правые части уравнений (10.4) голоморфны относительно и и в окрестности точки Тогда так как то

где

Так как — функции периодические, то линейная система, соответствующая уравнениям (10.7) (она называется уравнениями первой вариации системы (10.2) на решении (10.1)), будет линейной системой с периодическими коэффициентами

А тогда, как мы видели, систему (10.7) можно свести к такой, у которой соответствующая линейная система будет с постоянными коэффициентами. Можно, конечно, решать задачу построения решений в окрестности изолированных периодических (или любых) решений и для системы уравнений. В некоторых

которых случаях это можно делать по методу Ляпунова, в других, более общих, — по методу Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского ([13] см. также [40, 74]).