§ 5. Общее исследование системы (3.1)

Итак, дана система линейных уравнений с постоянными вещественными коэффициентами

которую запишем в векторной форме

где матрица

а вектор определяется равенством

Как мы уже отметили, существует постоянная матрица

такая, что

Здесь — жорданова матрица, определяется равенством (4.1). С помощью матрицы введем новые неизвестные равенством

Это преобразование вектора x в вектор у. Из (5.2) и (5.4) имеем

или на основании (5.3)

Пусть матрицы порядков и А — квазидиагональная матрица порядка Вектор порядка можно записать в виде где векторы порядков тип соответственно,

Здесь, таким образом, элементы вектора х просто разбиты на две группы элементов. Очевидно, вектор

5.1. Пусть векторы и матрицы соответственно порядков. Образуем вектор и квазидиагональную матрицу Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

или

откуда имеем две системы

Решением системы (5.6) будет

а также

Возвращаемся к системе (5.5). В соответствии с видом матрицы запишем вектор х в виде

где — вектор порядка,

Тогда уравнение (5.5) можно записать § виде

Согласно замечанию 5.1, эта система разбивается на систем

Решениями системы (5.5) или (5.13) будут

и

т. е. можно взять ненулевое решение какой-нибудь из систем (5.13), а решения остальных из уравнений (5.13) взять нулевые. Вообще в (5.15) векторы-решения можно выбирать независимо друг от друга. Каждая из систем (5.13) имеет вид

В развернутом виде уравнения (5.16) имеют вид

Полагая здесь получим откуда

где произвольные постоянные. Мы нашли общее решение уравнений (5.16)

Но отсюда можно получить и систему линейно независимых решений уравнений (5.16).

Запишем матрицу этих решений так:

Здесь первое решение получаем из (5.18) при второе — при С] при последнее решение получаем при Полагая здесь получаем фундаментальные системы решений всех систем (5.13). Можно всю систему линейно независимых решений уравнений (5.13), учитывая (5.19), записать в виде квазидиагональной матрицы

Фундаментальную систему решений для уравнений (5.1), согласно (5.4), получим в виде

Квазидиагональная матрица (5.20) составлена из матриц вида (5.19), поэтому

а из (5.21) получим

так как Следовательно, решений (5.21) уравнений (5.1) являются фундаментальной системой решений. Относительно этих решений (5.21) можно сделать несколько замечаний.

Замечание 5.2. Решения, входящие в (5.21), имеют вид где — полином. Точнее. Рассмотрим в (5.20) квадратную матрицу стоящую в левом верхнем углу и имеющую вид (5.19), где Таким образом, в матрице (5.20) первая строчка будет иметь вид — всего элементов. Эта первая строчка порождает первое решение в матрице (5.21), когда мы ее скалярно будем умножать на все столбцы матрицы 5. Следовательно, первое решение или первая строчка У в (5.20) будет иметь вид

где -элементы первой строчки матрицы Вторая строчка матрицы (5.20) имеет вид

Она в (5.21) порождает второе решение — вторую строчку:

ргстрочка имеет элементы в виде полиномов степени умноженных на Следующие строчек в (5.21) порождает матрица

Замечание 5.3. Как уже отмечалось, среди могут быть и равные. Следовательно, корень может порождать и несколько клеток в (5.20). Если к имеет кратность то наибольший возможный порядок матрицы соответствующий этому X в (5.20), будет т. Тогда, как видно из (5.19), корень X будет порождать последнюю строчку-решение, элементами которой будут где — полиномы степени Но могут все матрицы соответствующие корню X, быть и первого порядка (тогда их будет В этом случае все строчки-решения, порожденные корнем X, будут иметь элементы только вида

Замечание 5.4. Если среди имеются комплексные то и будет комплексной. Тогда и фундаментальная система (5.21) будет состоять из комплексных решений. Но тогда если запишем какую-нибудь строчку-решение в виде то, как мы видели,

ли, и будут решениями, где — вещественные векторы. Причем если в (5.21) элементами будут функции вида где - полином, то и и имеют элементы вида

Так как (5.21) — фундаментальная система, то через нее запишем общее решение уравнений (5.1) в виде (1.10). При любых вещественных начальных условиях найдем единственные значения при которых получим это вещественное решение. В нем автоматически исчезнут мнимые части они окажутся равными нулю. Оно будет содержать только элементы вида И мы видели, что наибольшая степень полинома определяется не только кратностью корня , но и структурой канонической матрицы в формуле (5.3).

Замечание 5.5. Общее решение уравнений (5.1) мы получаем и сразу в виде, аналогичном (5.21):

Здесь в отличие от — векторы, элементы которых найдены как решения уравнений (5.17) в виде (5.18). Каждый из векторов содержит произвольных постоянных всего их будет Теперь, умножая скалярно вектор поочередно на вектор-столбцы матрицы мы и получим все элементы вектора

Из структуры векторов согласно (5.18), видим, что

Здесь не равные между собой из тем самым -наибольший из соответствующих Покажем, что (5.23) — общее решение уравнений (5.1). Надо убедиться, что при любых начальных условиях найдем произвольные постоянные, входящие в (5.23), при которых и будет Пусть в Тогда в соответствии со структурой (5.18) имеем из (5.22)

Отсюда легко находим

т. е. все произвольные постоянные, входящие в общее решение (5.22), находятся через

Если нас интересуют начальные значения то в (5.22) надо всюду поставить вместо (5.24) останется в силе. Но, как мы указали, если есть комплексные то и S будет комплексной. Комплексными получаются и окончательный вид решений (5.22) будет вещественным. Какой это вид? Очевидно, вместо (5.23) будет

Здесь вещественные различные из различные из — снова наибольшие порядки уравнений (5.17), соответствующие комплексным корням.

Теперь коэффициенты всех полиномов — произвольные постоянные, которые легко находятся через так же, как мы только что показали, из равенств (5.25).

Замечание 5.6. Мы могли бы всюду степени полиномов брать равными соответственно , если кратность корня Тогда при удовлетворении уравнениям (5.1) в соответствующих случаях коэффициенты при старших степенях будут найдены равными нулю.

Теперь можно задаться вопросами:

1. Сколько решений, обладающих свойством

имеет система

2. Сколько периодических решений имеет эта система?

3. Сколько решений отличных от нулевого?

4. Сколько ограниченных решений?

5. Сколько неограниченных решений?

Отвечаем на первый вопрос. Если то, как видно из (5.18), вся группа решений, порождаемых этим корнем, будет обладать свойством при Отсюда следует, что если имеем т.п корней X (учитывая и кратность) с то имеем -параметрическое семейство решений, обладающих этим свойством. Действительно, семейство решений, обладающих этим свойством, содержит произвольных постоянных. Это видно из (5.22), где произвольные постоянные, соответствующие корням нужно положить равными нулю, чтобы получить семейство решении с указанным свойством.

Периодические решения. Каждое первое решение в группе решений очевидно, будет периодическим, если соответствует корню Отсюда следует, что число периодических решений с периодом определяется числом клеток Жордана с Если порождает таких клеток, то столько же клеток порождает и Следовательно, всего будет клеток, порождающих периодические решения с периодом Всего будем иметь -параметрическое семейство решений с периодом

Учитывая все корни мы и найдем число периодических решений с разными периодами. Но семейство периодических решений с соизмеримыми можно объединить в одно семейство. Если имеем соизмеримые, то это значит, что где — несократимые целые положительные числа или Отсюда имеем где N — наименьшее кратное числам тк. Следовательно, все периодические решения имеют период

Если в (5.22) все произвольные постоянные коэффициенты, не стоящие при периодических решениях с указанным периодом, положим равными нулю, то и получим семейство периодических решений с периодом

Решения отличные от нулевого. Если среди есть которому соответствуют в клеток Жордана, то имеем -параметрическое семейство решений отличных от нулевого.

Все только что перечисленные решения являются ограниченными решениями, остальные же будут неограниченными. Легко указать и область начальных значений, порождающих решения с тем или другим из перечисленных свойств.