§ 5. Частные случаи уравнения n-го порядка

Предположим, что отсюда найдено

Общее решение получим -кратным интегрированием

Здесь содержится и произвольных постоянных. Но можно это записать иначе. Рассмотрим функцию

Отсюда имеем

т. e. функция (5.3) — решение уравнения (5.1), удовлетворяющее условиям

Решением уравнения (5.1), очевидно, будет и

где — произвольные постоянные. Решение (5.7) удовлетворяет условию Коши:

Предположим, что нельзя найти (5.1), но можно представить уравнение I параметрически, т. е. можно найти

так что

Из (5.8) имеем

Отсюда также найдем

и т.д.

Второе из равенств (5.8) и равенство (5.11) доставляют общее решение. Легко найти и решение задачи Коши для точки из равенства найдем Затем из равенства (5.9) при найдем Изравенства (5.10) и последующих равенств найдем последовательно все произвольные постоянные так, что начальные условия Коши будут удовлетворены.

Если уравнение имеет вид то оно, очевидно, представимо в виде (5.8), так как можно положить

Предположим, что отсюда удалось найти

Обозначим

Пусть а — корень уравнения и, следовательно, будем иметь решение уравнения II:

с произвольньши постоянными

Теперь из (5.13) найдем

Это равенства вида (5.8) с параметром и, которые позволяют получить общее решение в форме (5.11). В данном решении, согласно (5.15), можно величину задать произвольно, так как соответствующее «о находим: Затем из первого равенства (5.15) при найдем Далее из (5.11) найдем произвольные постоянные так что будут удовлетворены остальные условия задачи Коши. Заметим, что решение (5.14) не содержится в общем, так как в постоянное, чего нет в решениях, содержащихся в общем.

Но будет ли решение (5.14) особым? Согласно (5.14), должно быть Из (5.15) найдем соответствующее Если при таком значении интеграл в (5.15) существует (он особенный, так как то при получим Причем, как мы уже отметили, остальные начальные значения Коши всегда получим за счет выбора постоянных Мы получили решение с такими же начальными значениями, как и (5.14). Таким образом, все семейство решений (5.14) (с произвольными постоянными является особым. Если же интеграл

расходится, то в (5.15) невозможно положить и решения (5.14) не будут особыми, они не будут состоять из точек ), в которых нарушается единственность решения. Но согласно другому определению — решения (5.14) всегда особые, так как не получаются из общего при частных значениях постоянных эти решения, как мы отметили, всегда различны.

Мы видим, что уравнение порядка может иметь особые решения, содержащие произвольных постоянных.

Предположим, что (5.12) найти невозможно, но возможно уравнение II представить параметрически, т. е. можно найти

такие, что

Тогда имеем

откуда

Эти уравнения являются уравнениями типа (5.8), общее решение, которых мы уже нашли. Если, в частности, имеем уравнение

то, полагая получаем

а это уравнения типа (5.16). Не будем здесь останавливаться на особых случаях.

Предположим, что отсюда удалось найти параметрическое представление

Если, в частности, уравнение III имеет вид то, полагая получаем т. е. (5.19). Будем рассматривать уравнения (5.19). Имеем

откуда

или

Это равенство и второе из равенств (5.19) составляют равенства типа (5.16), общее решение которых находить умеем.

Если обозначим то получим уравнение порядка: Пусть — решение этого уравнения. Тогда имеем это I уравнение.

Порядок этого уравнения можно понизить на единицу, если обозначим новая неизвестная функция и у примем за независимую переменную. Действительно,

Если продолжим так далее, то получим

т. е. производную порядка выразим через производные Подставляя все это в V, получаем уравнение порядка

Если найдем

то получим

т. е. решение уравнения V. Мы не останавливаемся здесь на особых решениях.

Замечание 5.1. При нахождении уравнений (5.1), (5.8), (5.16) и (5.19) надо следить за тем, чтобы были найдены все ветви, как и в случае уравнений первого порядка, что мы показали подробно.