§ 4. О матрицах

Мы будем рассматривать квадратные матрицы «и

— числа, вещественные или комплексные), которые будем записывать и так:

Первый значок элемента означает номер строчки, а второй — столбца. Пусть даны матрицы Равенство А —В означает, что ? Сумма и разность этих матриц определяются равенствами

и произведение Очевидно, в общем случае, но если имеем то будем говорить, что матрицы А и В коммутируют. Если А, В и С — матрицы, то всегда Если — определитель матрицы то

так как определяются одинаково. Выделим в матрице А квадраты порядков на главной диагонали и обозначим матрицы, стоящие в этих квадратах, соответственно

через . Пусть элементы вне квадратов равны нулю. Тогда матрица А имеет вид

Эту матрицу будем записывать в виде и называть квазидиагональной. Здесь, таким образом, порядок матрицы А есть Если — просто числа то

и матрица А называется диагональной. Если то А называется единичной матрицей и обозначается через I. Матрица

Очевидно, и

Иногда, чтобы подчеркнуть порядок единичной матрицы, будем записывать так:

— матрица порядка . Если — две квазидиагональные матрицы и порядок матриц совпадает, то, очевидно, Если определитель то уравнение всегда имеет решение - матрицу Т, которую обозначают

Здесь Т обладает свойством т.е. Т коммутирует с А. Из алгебры известно, что где алгебраическое дополнение элемента а; в матрице А.

Из алгебры известно, что для всякой матрицы А существует матрица с такая, что где — жорданова каноническая квазидиагональная матрица

характеристические числа матрицы А, т. е. корни уравнения степени

Некоторые из или все могут совпадать и Как найти Это известно из алгебры. Сначала находим корни уравнения среди которых могут быть и равные. Возьмем корень Я] кратности Очевидно, полином (4.11) делится на Рассмотрим все определители полученные из определителя

вычеркиванием одного столбца и одной строки. Пусть все делятся на но есть хоть один, который не делится на Образуем теперь определители из вычеркиванием двух строк и двух столбцов. Пусть все эти определители делятся на и не делятся на

Образуем последовательность так, что уже не делятся на В алгебре доказано, что

Следовательно, числа положительные Тогда в матрице корню будут соответствовать Так мы построим все входящие в причем некоторые из совпадают, но — порядок матрицы . Так как произведение матриц А и В определено, то определено и где — целое положительное. Очевидно, Если то Матрица определяется равенством - это матрица с неотрицательными элементами. Если элементы матрицы В положительные и то будем записывать Будем говорить, что если Здесь матрицы. Ряд где — числа, А — матрица, называется сходящимся, если — матрица при функция от матрицы порядка определяется равенством

Это имеет смысл, если ряд сходится. Но он сходится при всех конечных . Действительно, если и ряд сходится, то, очевидно, сходится и ряд Пусть Тогда

Каждый элемент этой матрицы есть ряд (с точностью до множителя типа и, следовательно, сходится при всех конечных Отсюда следует сходимость ряда (4.2) при всех конечных .

Рассмотрим произведение двух матриц

Вообще говоря, Но если то имеем

так как тогда

где — биномиальные коэффициенты. Пусть Тогда ивообще где — целое. Отсюда имеем

Пусть элементы матрицы — функции от Тогда по определению

Если то Имеем

Если то, очевидно,

Отсюда имеем: если то

Если то .

Векторная и матричная запись системы (1.1).

Два вектора равны, тогда и только тогда, когда Сумма двух векторов определяется равенством:

Производная от вектора определяется равенством

Пусть — вектор и — матрица порядка. Условимся вектор где записывать так:

Согласно этой символике, систему (1.1) можно записать в виде

Для дальнейшего заметим, что если у — вектор, матрица, то, очевидно,

Пусть имеем решений в виде матрицы интегральная матрица (4.5)

Тогда, подставляя первое решение, стоящее в первой строчке, получаем равенств. А для всех решений получим равенств, которые можно записать так:

Здесь, таким образом, У — матрица (4.5), составленная из решений, причем в каждой строчке матрицы У стоит решение, а в столбце У стоит неизвестная функция в каждом из решений. В сущности (4.7) есть векторных равенств (4.4). Пусть

Тогда, согласно при такой матрице решением уравнений (4.7) будет

В частности, если Р — постоянная, то и мы имеем (4.8), так как Следовательно, для системы (4.6) с постоянными коэффициентами интегральной матрицей (4.5) будет

Эти решений линейно независимы, так как при имеем поэтому Таким образом, мы получили матрицу фундаментальной системы решений для уравнений (3.1) при всех значениях Но это ряды, из которых невозможно увидеть структуру решений из элементарных функций типа которые здесь должны быть, так как система (3.1), вообще говоря, сводится к одному линейному уравнению с постоянными коэффициентами. Приступим к исследованию структуры фундаментальной системы решений уравнений (3.1).