§ 3. Решение задачи Коши для однородного уравнения с n независимыми переменными

Пусть — независимые решения. Тогда общее решение имеет вид (1.2). Здесь задача Коши (1.3) решается так. Предположим, что из уравнений можно найти

Тогда

и есть решение задачи (1.3) ввиду (3.3).

Общая задача Коши (1.4), (1.5) решается так. Предположим, что из уравнений

можно найти

Тогда

и есть решение задачи (1.4).

Предположим теперь, что вместо (3.5) имеем

Рассмотрим все множество решений

На основании (3.8) видим, что

при

Отсюда видим, что в случае (3.8) задача Коши (1.4), (1.5) имеет решение только в том случае, когда

И если это выполнено, то решением является (3.9) при произвольной функции Ф, подчиненной лишь условию (3.10). Кривые в пространстве

будем называть характеристиками уравнения (3.1). Как и прежде, в случае двух независимых переменных видим, что всякая интегральная поверхность состоит из характеристик. И как прежде, видим, что если множество (1.4) лежит на характеристике, то решений задачи Коши имеем бесконечное множество.

Пример,

Здесь Найдем решение Из уравнений находим и решение задачи получим в виде

Мы получили решение в области Чтобы получить

решение в других областях (если там задана надо соответственно изменить знаки перед корнями

Теперь будем искать решение , содержащее многообразие

Из равенств находим

и решение задачи имеем в виде

Найдем решение, содержащее многообразие Здесь поэтому решение имеем в виде где ф — произвольная функция, обладающая лишь свойством Мы рассмотрели задачу Коши в случае, когда имеем (3.5), (3.6) или (3.8). Предположим теперь, что вместо (3.8) имеем

и

Некоторые из последних функций могут оказаться зависимыми. Пусть

а функции

являются независимыми. В этом случае должно быть

Отсюда видим, что

есть функция от Предположим теперь, что ф и задана в виде (3.16), где Ф — произвольная функция от Тогда решение задачи Коши имеем в ввде

где

Мы получили следующий результат.

Теорема 3.1. Пусть задано уравнение (1.1) и задача Коши (1.4), (1.5). Предположим, что выполнены условия (3.12), (3.13), (3.14), (3.15). Тогда задача имеет решение только в том случае, если функция в условиях (1.4) имеет вид (3.16), а определены равенствами (см.

И если этим условиям удовлетворяет, то решение задачи имеем в виде

где Ф — произвольная функция, подчиненная условию

Здесь Ф — та самая, которая определяет согласно (3.16). Или иначе

где

Замечание 3.1. Если вместо возьмем другие независимые решения то среди может и не быть постоянных Но тогда, конечно, не получим

другие условия разрешимости задачи, так как общее решение через равенства можно снова заменить на Здесь среди появятся I независимых, а остальные будут функциями от них:

и это не меняет далее рассуждений. Впрочем, просто

в силу и вновь применимы прежние рассуждения. Можно было бы вообще доказывать теорему исходя из предположения, что функции независимые, — функции от них. Частным случаем этого будет тот, когда среди этих последних функций есть тождественно постоянные.

Пример.

— независимые решения, так как можно найти Пусть и содержит многообразие: Здесь Следовательно, если и то должно быть

произвольная обладает свойством: Например, Если, в частности, то Здесь при будет и окончательно Это решение, которое при принимает вид