§ 6. Уравнения с малым параметром при старшей производной

Теперь рассмотрим задачу (1.16). Как мы видели, надо проверить справедливость утверждения (1.23), где — решение (1.20) системы (1.17). Прежде всего приведем основную теорему А. Н. Тихонова относительно этой задачи. Но сначала вспомогательные рассуждения.

Итак, пусть дана система вида (1.11)

для которой система

является предельной при . Здесь — непрерывные функции от в некоторой области в которой выполнены условия единственности решений и непрерывной зависимости от начальных условий (например, ограничены), - векторы соответственно порядка. Вместо системы (6.2) напишем

где х найдено из первого уравнения (6.2), т. е.

Решений уравнения (6.4) может быть несколько, мы берем одно из них. Если это значение х подставим в (6.3), то получим

Отсюда найдем решение

и, подставляя это решение в найдем

Построим теперь решение уравнений (6.1):

с начальными условиями

Вообще говоря, При этом условии возникает вопрос, будет ли как-то приближаться решение (6.8) к решению

системы (6.2) при

Следуя А. Н. Тихонову, введем определения. Корень

уравнения (6.4) назовем изолированным, если найдется такое что точки кроме точек (6.10), в области

равенству не удовлетворяют. Систему

назовем присоединенной, где — произвольные фиксированные из области (6.11). Для системы (6.12) точка очевидно, будет точкой равновесия. Изолированный корень назовем положительно устойчивым, если для любой точки из области (6.11) значение будет асимптотически устойчивым решением уравнений (6.12) при

Для каждой точки найдется такая область что решения уравнений обладают свойством

Совокупность всех таких точек из области (6.11) назовем областью влияния корня (6.10). Будем говорить, что точки покоя присоединенной системы (6.12) равномерно асимптотически устойчивы, если для всех х по любому найдется такое что если и равномерно Или просто будем говорить, что корень равномерно асимптотически устойчив. Когда это будет? Чтобы ответить на этот вопрос, можно, например, поступить так. Введем в (6.12) новую неизвестную и Тогда из (6.12) получим

и

Запишем это так:

Или, если функция от запишем в виде

Здесь — непрерывная функция от если такой функцией является Решением уравнения (6.14) будет — параметр. Если это решение равномерно асимптотически устойчиво для то будет равномерно асимптотически устойчив и корень на функции в промежутке

Теорема Тихонова [96]. Дана система уравнений

где Ф — непрерывная функция от в промежутке для которой выполнены условия теоремы единственности решений в области Предположим, что нулевое решение асимптотически устойчиво при каждом значении из промежутка т. е. по любому найдется такое, что если

и, кроме того, по найдется такое, что

Пусть еще существует область окружающая точку и не зависящая от в которой начинаются решения при . Утверждается, что для всех из промежутка найдется одно и одно т. е. асимптотическая устойчивость решения будет равномерной относительно в промежутке

Доказательство. Предположим, что теорема неверна. Тогда нет одного либо для промежутка [0, 1/2], либо для промежутка [1/2, 1]. Пусть нет для промежутка [0, 1/2]. Тогда нет такого либо для промежутка [0, 1/4], либо для промежутка [1/4, 1/2]. Продолжая это рассуждение, получаем предельную точку для окрестности которой нет

такого Это значит, что найдется такое что для уравнения

при

имеем

- как угодно малое при Но найдется как угодно малое такое, что при некотором

существует для которого имеем

Однако найдется и такое что при будет

и

где - как угодно малое.

Покажем, что (6.22) быть не может, если - достаточно малые. Можно считать, что множество точек лежит в области

B. И. Зубов доказал что в области влияния решения существует непрерывная определенно-положительная функция

Поверхности

окружают точку сжимаясь к этой точке при - однозначная непрерывная функция от поэтому при всех t, близких к и начальных точках близких к поверхности (6.28) расположены в окрестности точки Эти поверхности обладают свойством: при траектории пересекают их извне внутрь, поэтому траектория начавшаяся в окрестности точки не может, пересекая эти поверхности изнутри, достигнуть множества откуда и следует невозможность равенства (6.22) совместно с (6.25).

Мы доказали, что по можно указать одно не зависящее от из промежутка [0, 1]. Так же докажем существование не зависящего от по заданному Действительно, если нет такого то его нет и для окрестности некоторой точки Но это будет противоречить непрерывной зависимости решений системы (6.18) от параметра так как по Ф найдем соответствующее для системы (6.18) при тогда будем иметь при и для решений системы (6.18) неравенство

так как Ф будет играть роль для промежутка Замечание 6.1. Если имеем функцию Ляпунова

и

в области то, очевидно, существует. Это будет всякий раз, когда — голоморфная функция от 2 в окрестности точки и существование функции Ляпунова обеспечено первым приближением системы (6.15) при всех значениях (например, при всех вещественные части соответствующей линейной системы отрицательны). Или это будет в том случае, когда, например, имеем сомнительный случай устойчивости по Ляпунову, но функция Ляпунова строится без участия параметра (он входит в члены

более высокого порядка, чем те, которые уже определяют асимптотическую устойчивость), при всех значениях из промежутка

Пример,

при поэтому решение равномерно асимптотически устойчиво в промежутке

Замечание 6.2. Теорема Тихонова доказывается так же, если правая часть уравнений (6.15) является непрерывной функцией в замкнутой области от нескольких параметров Таким образом, теорема верна и для уравнений где и у независимые, меняющиеся в ограниченной замкнутой области.

Основная теорема Тихонова. Если корень системы является изолированным равномерно положительно устойчивым корнем в некоторой ограниченной 1 замкнутой области начальная точка принадлежит области влияния этого корня и решение вырожденной системы (6.3) принадлежит D для то решение исходной системы (6.1) при стремится к решению причем предельный переход

имеет место для

имеем для

Мы сначала рассмотрим систему вида

т. е. тот случай, когда в уравнениях (6.1) нет у. Здесь, следовательно, уравнения (6.3) имеют вид

и

Надо показать, что решение уравнений (6.32)

если лежит в области влияния корня (6.33). Заменим в (6.32)

Здесь

Покажем, что при всех будет где по найдется если достаточно малое.

В теореме надо брать из области влияния присоединенного уравнения. Но, как мы сейчас же увидим, если в (6.35) заменить другим значением и как угодно близким к то можно считать как угодно малым.

Положим в

При это перейдет в присоединенные уравнения

Согласно (6.34), и решение уравнений (6.39) по условию теоремы Тихонова асимптотически устойчиво. Это значит, что решение уравнений (6.39) с начальными условиями

обладает свойством

и

где по найдется и по найдется Если вместо возьмем начальное значение из промежутка (6.33), то можно указать независимо от

В силу непрерывной зависимости решений уравнений (6.38) от решение этих уравнений с начальными условиями

удовлетворяет неравенствам

Здесь по найдется область для

Неравенство (6.42) означает, что имеем решение уравнений (6.37) с начальными условиями (6.40), обладающее свойством

где — как угодно малое, — как угодно большое, а соответствующее при достаточно малом найдется. Как видим, можно считать как угодно малым, если заменим на

Теперь покажем, что если взяты достаточно малые, то решение уравнений (6.37) остается в области — как угодно малое при где — любое, меньшее Т.

Допустим, что это не так, т. е. существует такое, что для последовательностей найдем для которых будет

Множество имеет предельную точку Пусть просто . Числам предшествуют числа такие, что, согласно (6.46) 2,

Последовательность

Пусть

где из (6.40) не зависит от

Рассмотрим решение уравнений

Согласно (6.41), (6.42) и (6.50), имеем (произвольно малое) при Каждому в (6.46) соответствует такое, что

Поэтому существуют такие что

и

Здесь при достигает в (6.48) как угодно малое.

Положим в

В силу непрерывной зависимости решений уравнений (6.53) от начальных значений и от параметра сравнивая решения уравнений (6.51) и (6.53), получим для решений уравнений (6.53):

где - как угодно малое. Тем самым найдется такое, что Это противоречит (6.52), где, в частности, так как при будет

Следовательно, нет для которого имеем (6.47), и при достаточно малом в (6.32) будет , где — как угодно близкое к как угодно малое. Этим доказаны (6.35) и теорема Тихонова для системы (6.32).

Докажем ее иначе. Вернемся к системе (6.32) и к (6.37), (6,38). Согласно (1.22), нужно показать, что при достаточно малых в (6.40) будет (6.41), т. е. будет

малым при когда в остается постоянным из промежутка Этим будет показано, что для любого фиксированного имеем (6.35). Но решение уравнений

согласно условию теоремы, асимптотически устойчиво, т. е. при Известно [41, 45], что в этом случае существует определенно-положительная функция имеющая бесконечно малый высший предел и обладающая свойством

где — определенно-отрицательная функция при

Пусть Тогда Отсюда следует, что если в достаточно мало, то и

в области

Другими словами, при или при уменьшается. Отсюда и следует теорема Тихонова для системы (6.32), так как уменьшается с уменьшением ибо увеличивается с уменьшением е. А то, что при следует из асимптотической устойчивости решения системы

при фиксированном так как не может оставаться в области при согласно (6.42).

Доказательство теоремы Тихонова для системы (6.1) чуть только сложнее, чем для системы частного вида (6.32).

Перейдем к доказательству теоремы Тихонова для системы (6.1). Вырожденную систему для (6.1) можно записать в виде (6.3), откуда имеем (6.5). Таким образом, — решение вырожденной системы (6.3).

Вместо х и у в (6.1) введем новые неизвестные и и

Тогда из (6.1) получим

или

где обозначения очевидны и

Для уравнений

-решение, которое соответствует решению Теперь нужно показать, что решение уравнений (6.57) и обладает свойством при для если лежит в области влияния решения уравнений

Здесь согласно (6.4)

Заменим в (6.57),

Нас интересует решение этой системы с начальными значениями

Полагая в (6.59) и получим

Для решения этих уравнений с начальными условиями (6.61), (6.62) получим и найдем из уравнения

с начальными условиями (6.61), где лежит в области влияния решения уравнений (6.63), или, как принято теперь говорить, в области притяжения асимптотически устойчивого решения Это означает, что по найдется такое что любое малое число. Отсюда на основании непрерывной зависимости решений уравнений (6.59) от параметра видим, что решение уравнений (6.59), (6.60) с начальными условиями (6.61), (6.62) для произвольного промежутка Оттг, будет как угодно мало отличаться от найденного решения уравнений при достаточно малом Следовательно, при достаточно малом рассматриваемое решение уравнений (6.59), (6.60) будет удовлетворять неравенствам:

Здесь, таким образом, — произвольно малые, — как угодно большое, а соответствующее найдется. Это означает, что мы имеем решение уравнений (6.57), (6.58) с начальными значениями (6.61), (6.62) при достаточно малом удовлетворяющими условиям

Очевидно, отличается от так мало, как мы пожелаем, если возьмем достаточно малым.

Теперь покажем, что

если также в (6.64) и (6.65) достаточно малые. Допустим, что это не так, т. е. существуют и А такие, что для последовательностей найдем для которых будет или

или

Множество имеет предельную точку Т. Пусть просто

Числам предшествуют числа такие, что, согласно (6.67), (6.68),

Последовательность

где либо

либо

Заметим, что можно, как и в предыдущем случае, считать как угодно малыми.

Рассмотрим уравнения

с начальными условиями

Таким образом, имеем и

Сначала рассмотрим уравнение

Так как начальное значение и по модулю малое (согласно замечанию), то оно находится в области притяжения нулевого решения уравнения (6.77). Поэтому имеем — как угодно малое при т. е.

Отсюда следует, что если достаточно малое, то и для решения уравнения (6.76) имеем (6.78) при Таким образом, для решений уравнений (6.74) имеем (6.78), если достаточно малые и За можно брать как угодно большое число, но фиксированное, а достаточно малые.

Отметим теперь следующее. Так как

(случай (6.67)), то существуют для которых имеем

и поэтому

Полагая в (6.57), получаем (как и (6.59))

При эти уравнения переходят в (6.74). Поэтому для решений уравнений (6.80) при всех достаточно больших имеем (6.78) при т. е. имеем

что противоречит (6.79), где, в частности, при Если при всех имеем то доказательство не изменится, так как начальное значение и по модулю в (6.74) может оказаться еще меньше, т. е. не выйдет из области притяжения нулевого решения уравнений (6.77). Теорема доказана.

Относительно системы (6.1) можно повторить такие же рассуждения, которые мы провели относительно системы (6.32) на основе формулы (6.54).

Сделаем некоторые замечания к теореме Тихонова и приведем примеры. В теореме Тихонова требуется, чтобы точки равновесия присоединенной системы (6.12) были асимптотически устойчивы при Это означает, что если будет при — конечное, то условие теоремы не выполнено, хотя при имеем решение — постоянное, так как т. е., вообще говоря, точка равновесия

устойчива и при будет В этом случае в точке нарушено условие единственности решений, так как через точку проходит решение В нашем доказательстве, если в то в точке нарушена единственность и нет определенного продолжения решения для Можно показать, что в этом случае нарушена и теорема о непрерывной зависимости решений от параметра, чем мы пользовались при доказательстве теоремы Тихонова.

Пример. Рассмотрим систему двух уравнений, заданную следующим образом:

Здесь вырожденная система есть

Решением вырожденной системы будет Корень — изолированный. Присоединенная система (6.12):

Точка равновесия будет устойчивой. В самом деле, интегрируя присоединенную систему, получаем При будет при интеграл и мы снова имеем при Условия теоремы нарушены. Корень устойчив асимптотически, но х попадает в

точку равновесия в конечный промежуток нарушена единственность решения, есть и есть . Построим решение исходной системы.

I. Поделив одно уравнение на другое, получим

Обозначим

при должно быть так как решение вырожденной системы Если же мы рассмотрим систему:

то присоединенная система есть — при т. е. точка равновесия асимптотически устойчива. Условия теоремы Тихонова выполнены. Найдем решение исходной системы.

I. Имеем

Решение этого линейного уравнения найдем в виде

откуда получим, что при Из видим, что и при т. е. решение приближается к решению вырожденной системы Легко убедиться, что то же самое будет в случае II.