§ 2. Теорема Коши

Дана система

где ряды сходятся в области

Существует, а притом единственное, непрерывное решение такой системы с начальными значениями

Это решение представимо рядами

сходящимися в области

где , а М — максимальное из входящих в маоюоранты вида (1.12) функций стоящих справа в (2.1).

Другими словами, если системы (-голоморфные функции в окрестности точки

то данная система имеет, и притом единственное, непрерывное решение с начальными значениями (2.6), и это решение будет голоморфным в некоторой окрестности точки

Если мы обозначим то в новых переменных все формулируется так, что начальные значения будут равны нулю. Поэтому, не уменьшая общности рассуждения, в системе (2.1) можно считать что мы и примем в дальнейшем. Чтобы упростить запись, будем рассматривать только систему двух уравнений. Итак, дана система

где ряды справа сходятся в области

Докажем, что эта система имеет решение в виде рядов

сходящихся в области

где

Покажем сначала, что можно найти, и притом единственным образом, коэффициенты рядов (2.8) такие, что эти ряды формально удовлетворяют уравнениям (2.7). Подставим ряды (2.8) в (2.7):

Сравнивая здесь коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем

Здесь — полиномы от своих аргументов с положительными коэффициентами, т. е. здесь сумма произведений от этих аргументов. Аргументы означают, что сюда входят коэффициенты рядов (2.7). Но, заменяя их значениями через получаем

И здесь снова — суммы произведений коэффициентов рядов (2.7). Мы пришли к следующему результату: если решение системы (2.7) в виде (2.8) существует, то оно единственно, так как коэффициенты согласно (2.12), определяются однозначно. И если мы вместо системы (2.7) возьмем другую систему, в которой заменяются через мажоранты с коэффициентами

то получим

Чтобы доказать сходимость полученных формальных решений (2.8), рассмотрим систему, в которой вместо взята мажоранта, одна и та же для

Здесь Для этой системы имеем неравенства (2.13). Поэтому если докажем сходимость соответственно рядов типа (2.8) (с коэффициентами с, то отсюда будет следовать сходимость и рядов (2.8) для исходной системы (2.7). Докажем сходимость рядов (2.8) для системы (2.14). Из (2.14) видим, что и, следовательно, . Но , в связи с чем Подставляя это в (2.14), получаем

Уравнение (2.15) с разделяющимися переменными, поэтому легко найдем

Так как то Учитывая это, получаем

Покажем, что представимо в виде сходящегося ряда

Как видно из (2.16), можно представить в виде абсолютно сходящегося ряда по степеням а при

так как ряд

абсолютно сходится при как биномиальный. Согласно (2.16), и а представимо абсолютно сходящимся рядом

Пусть Тогда

и

при

Следовательно, при таких положительных значениях х ряд (2.19) абсолютно сходится и Но тогда на основании (2.18) при таких сходится (см. [97]) и ряд (2.17) для По теореме Абеля тогда сходится ряд (2.17) и при подчиненных условию (2.17). Утверждение (2.17) доказано.

В силу единственности определения коэффициентов (2.12) ряд (2.17) совпадает с тем, который получим, определяя коэффициенты ряда (2.17) по формулам (2.12). Так как имеем (2.13), то сходятся и ряды (2.8) в области (2.17). Мы доказали существование и единственность голоморфного решения (2.4) системы (2.1), удовлетворяющего начальным условиям (2.3). Позднее, доказывая теорему Пикара, мы докажем единственность непрерывного решения задачи Коши (2.3) даже для более общей системы, чем (2.1). Тем самым докажем отсутствие другого непрерывного решения задачи Коши (2.3), кроме (2.4), и для системы (2.1).

Мы показали, как можно найти коэффициенты рядов (2.8) по формулам (2.12). Но можно их найти и так. Известно, что

Следовательно, в (2.8)

Соответственно также на основании (2.7) найдем Так же найдем последовательно и все коэффициенты