§ 3. Метод последовательных преобразований

Надо иметь в виду, что из (2.26) не следует обязательно Может быть и так, что

где — полиномы, т. е.

— также полином. Тогда (3.1) приводится к уравнению

Пусть это в свою очередь представимо в виде

где — полиномы.

Здесь

и

и мы приходим к уравнению

Пусть заданы Тогда имеем согласно (3.5), и тем самым имеем уравнение (3.3). Если в (3.3) выберем то будет задано и (2.26). Если — интеграл уравнения (3.6), то

- интеграл уравнения (3.1). Здесь — произвольные, через которые и выражаются согласно (3.2), и выбраны так, что уравнение (3.6) интегрируется или как-то исследуется (и можно взять но - произвольные. Этим определяется какой-то класс уравнений (3.1), который так исследуется. Но, как видим, здесь непременно получится в виде произведения полиномов или рядов. Правда, может быть (см.

и тогда что возвращает нас к прежнему методу.

Вообще можно рассуждать так. Пусть дано уравнение

и уравнение

интегрируется или как-то изучается. Пусть имеем интеграл уравнения (3.8)

Тогда имеем интеграл уравнения (3.7)

Рассмотрим теперь уравнение

Интегралом этого уравнения будет и тем самым интегралом уравнения (3.11) будет

Теперь рассмотрим уравнение

которое эквивалентно уравнению

Имеем интеграл этого уравнения и тем самым интеграл уравнения (3.14):

В этой последовательности уравнений функция выбрана, произвольные. Спрашивается, какую последовательность уравнений мы имеем, чем характеризуется класс уравнений при , например, с качественной точки зрения каких-нибудь свойств решений?