§ 7. Непрерывная зависимость решений от параметров

Пусть дана система

где определены относительно в области

и относительно в области или

Теорема 7.1. Предположим, что

непрерывны относительно в области (7.2) и (7.3) и, следовательно, ограничены

где — любая точка области (7.2) и X из области (7.3), постоянная, не зависящая от и X.

удовлетворяют условиям Липшица в области (7.2) относительно

— постоянная, не зависящая от x, у и . Тогда система (7.1) имеет единственное решение

удовлетворяющее начальным условиям

Это решение определено и непрерывно дифференцируемо как функция от х в интервале

Относительно решение (7.6) равномерно непрерывно в интервале (7.3), т. е. имеем

По любому здесь найдется

Докажется эта теорема повторением рассуждений, проведенных при доказательстве теоремы Пикара. Здесь так же, как в теореме Пикара, получим последовательности

по формулам

Как и в теореме Пикара, последовательности (7.9) равномерно относительно сходятся к предельным функциям

откуда и следует утверждение теоремы.

Случай зависимости начальных значений от параметров. Р ассмотрим систему (7.1) при условиях теоремы 7.1, но будем теперь считать начальные значения непрерывными функциями от параметров заданными в области (7.3) так, что

и эти значения не выходят из области (7.2). Тогда, согласно предыдущему, имеем решение с такими начальными значениями

Это решение определено и непрерывно относительно х в области

где

и относительно в области (7.3). В частности, если функции (7.12) не выходят из области

то относительно х решения (7.13) определены в области

Это следует из того, что даже если то определены в области

Замечание 7.1. Предположим, что в (7.1) в области (7.2) представимы в виде абсолютно и равномерно сходящихся рядов

Тогда и решение (7.6) представимо в виде абсолютно и равномерно сходящихся рядов

в области

Замечание 7.2. Предположим, что в (7.1) суть степенные ряды по всем аргументам , абсолютно сходящиеся в области Пусть и (7.12) суть ряды, абсолютно сходящиеся при и при таких А значения не превосходят т. е. [не выходят из области сходимости рядов (7.1). Предположим еще, что при величины не выходят из области абсолютной сходимости рядов, представляющих

Это будет, если, например, область взять достаточно малой так, чтобы у к были близки к постоянным, лежащим в области сходимости рядов для Тогда и (7.13) суть степенные ряды от и от х или, если угодно, от абсолютно сходящиеся при Это можно получить из последовательности Пикара

Замечание 7.3. Если в (7.1) суть степенные ряды по переменным у и А, абсолютно сходящиеся в области — ряды попеременным абсолютно сходящиеся в области и при таких А имеем то и (7.11) суть ряды по положительным степеням абсолютно и равномерно сходящиеся в области где и такие, что неравенства

обеспечивают нахождение величин в области сходимости рядов для в которой