§ 5. Гамильтоновы системы двух уравнений

Имеют вид

Если

т. е. если правые части в (5.1) не содержат то система, очевидно, имеет интеграл

Мы будем предполагать Н, такими, что

Если Н или голоморфные относительно окрестности точки то это означает, что Н не содержит линейных членов относительно х и у (пусть отсутствует всегда и свободный член). Предположим, что — вещественное и имеет вид

Но

где -степенной ряд, не содержащий членов ниже третьей степени. В этом случае уравнения (5.2) имеют вид

Характеристическое уравнение линейной системы имеет вид

Здесь возможны три случая:

В случае I

т. е. здесь одно линейной системы положительное, а другое отрицательное. Мы показали ранее, что здесь в окрестности начала координат будет качественная картина вида, который показан на рис. 13 (глава IX), так как здесь Впрочем, эта качественная картина здесь видна и из интеграла (5.3). Действительно, имеем интеграл

Отсюда видим следующее. Если начальная точка взята такая, что будет то интегральная кривая

(5.10) не пройдет через точку (0, 0) (так как при слева в (5.10) будет нуль, а справа Через точку (0, 0) пройдет лишь такая интегральная кривая, для которой

Это равенство определяет только две кривые: или проходящие через начало координат. Мы найдем их так. Положим Тогда (5.11) после сокращения на перепишем в виде

где полином степени. Пусть корень уравнения

Тогда равенство (5.12) выполнено при Заметим, что если ряд (5.11) сходится в окрестности точки то и ряд (5.12) будет сходиться при - конечное и достаточно малом так как при этом будет малым. Таким образом, равенство (5.12) выполнено при Но

в силу условия I. По теореме из неявных функций равенство (5.12) определяет функцию

и этот ряд сходится при Следовательно, равенство (5.12) определяет две функции

Если но то вместо (5.14) будем иметь

Если же то получим

Все эти ряды сходятся при малых или Определяется и вся область сходимости. Но если ряд (5.10) сходится при всех конечных то и эти кривые определены во всей области их существования, хотя аналитическая форма их и будет различной в различных областях (см. [35]).

Пусть теперь выполнено условие II. Не ограничивая общности, положим Тогда (5.11) имеет вид

или

Пусть имеем (5.18). При некоторых дополнительных условиях это равенство определяет функцию

или

при этом или во втором случае или т. е. в обоих случаях имеем две ветви. В случае (5.19) кривая определена лишь при в случае (5.20) — при Возможны и другие случаи. Все это показано подробно в [35]. Уже из качественной картины расположения интегральных кривых видно, что как в случае I, так и в случае II решение системы (5.6) не будет устойчивым. Но это следует и из 3-й теоремы Ляпунова (глава VI, § 5).

Пусть имеем случай I. Тогда после преобразования системы 1 (5.6) к виду

где Р и Q — ряды без свободных и линейных членов, имеем

Здесь — ряды без свободных, линейных и квадратичных членов. Очевидно, в окрестности точки имеем (так как после замены будет

принимает разные знаки. По 3-й теореме Ляпунова решение неустойчиво.

Рассмотрим III случай. Пусть (что не уменьшает общности),

и мы имеем интеграл

Полагая найдем

или

Здесь ограничено при малых и

где — постоянная.

Согласно рассуждениям относительно формулы (4.31), в этом случае все интегральные кривые в окрестности начала координат замкнутые, тем самым решения периодические. Впрочем, здесь удовлетворяет условиям 1, 2 и 3 леммы 4.1, поэтому в окрестности (0, 0) все решения периодические и согласно лемме 4.1. В частности, если

где — ряд, не имеющий членов ниже третьей степени, то все интегральные кривые системы

в окрестности начала координат будут замкнутыми, а решения — периодическими. Уравнения интегральных кривых, согласно (5.3), имеем в виде

Как бы мы ни меняли коэффициенты в ряде (тем самым мы меняем коэффициенты нелинейных членов в системе (5.22)), в окрестности точки (0, 0) решения будут периодическими, т. е. качественная картина не будет изменяться.