ГЛАВА XII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ

§ 1. Сравнение задач с малым параметром

Мы изучали дифференциальные уравнения вида

где — непрерывная или аналитическая функция от в некоторой области и

При этом рассматривали следующий вопрос. Пусть система

имеет решение х, обладающее свойством А (область определения, периодичность, ограниченность, устойчивость или какое-нибудь другое свойство). Существует ли решение

системы (1.1), обладающее свойством А хотя бы при всех достаточно малых и близкое в каком-то смысле к решению х при всех этих малых Или будет ли

И будет ли при если х определено в промежутке Но можно рассматривать и другие типы дифференциальных уравнений, содержащие малый параметр. Например, пусть дана система

где — малый параметр и — непрерывная вектор-функция в некоторой области Пусть система

имеет решение х, определенное при Существует ли решение системы (1.6)

Если х определено в промежутке то возможно ли так, что здесь

Задача (1.8) укладывается в схему задачи (1.5), так как при и фиксированном Т имеем Но можно в задаче (1.9) допустить при так, что не стремится к О или даже не будет ограничено. Или где

т. е. — граничное значение. Тогда задача (1.9) для системы (1.6) отличается от задачи (1.5). Задача (1.9) отличается и от такой же задачи для системы (1.1) ввиду присутствия параметра в (1.6), так как в этом случае не стремится к О при

Рассмотрим теперь систему

где — малый параметр. Пусть система

имеет решение

Спрашивается, имеег ли система (1.11) такое решение

что

при

Введем в (1.11) новую переменную Тогда получим

При эта система переходит в систему

Пусть

— некоторое решение этой системы, а

— решение уравнений (1.17).

Предположим, что

при

Это решение задачи (1.8) для системы типа (1.6) при ограниченном Т. Но это не доставляет нам решение задачи (1.15) для уравнений (1.11) даже при ограниченном так как при ограниченном будет нас интересует поведение решения (1.14) при и ограниченном согласно (1.15) и (1.16). Чтобы получить из (1.20) решение задачи (1.15), надо рассмотреть поведение решения (1.20) при так, что -конечное значение из промежутка (1.16). Или надо рассмотреть поведение решения (1.20)

при из промежутка (1.16). Если при этом будем иметь

где - решение (1.13), то получим решение задачи Что же представляет собой решение Это значение решения (1.14) при так, что Или это значение решения (1.14)

при и при Если в (1.11) нет у, т. е. система имеет вид

то соответственно вместо (1.17) получим

Теперь надо рассмотреть поведение решений этой системы

при

Или надо исследовать поведение при и при конечном z из промежутка И надо найти условия, при которых при где

Задачи типа (1.8) подробно рассмотрены в работе Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского [13]. Общая теория задач типа (1.15) построена А. Н. Тихоновым. Эти работы продолжали А. Б. Васильева, В. М. Волосов и другие [14]. Мы коротко рассмотрим эти задачи, но сначала проведем вспомогательные рассуждения.