ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ

§ 1. Определения

Обыкновенным дифференциальным уравнением порядка называется соотношение вида

Здесь у — функция от х, не известная нам, независимая переменная. Некоторые из величин или даже все могут и не входить в соотношение (1.1). Но обязательно входит производная так как иначе соотношение (1.1) уже не будет дифференциальным уравнением порядка.

Обыкновенным оно называется потому, что в уравнение входят только обыкновенные производные. Вообще же рассматриваются и такие дифференциальные уравнения, в которые входят функции многих переменных и их частные производные. О таких уравнениях речь будет идти позднее.

Решением дифференциального уравнения (1.1) называется такая функция которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество:

Рассматриваются и системы дифференциальных уравнений со многими неизвестными функциями, например системы вида

с неизвестными

Решением такой системы называется совокупность функций

тождественно удовлетворяющих рассматриваемым дифференциальным уравнениям:

Уравнение

называется дифференциальным уравнением первого порядка. Частным случаем уравнения (1.2) является уравнение

где вещественная функция задана в некоторой области плоскости Будем говорить, что и дифференциальное уравнение (1.3) задано в области Это — дифференциальное уравнение, разрешенное отосительно у. Кривая, соответствующая решению уравнения (1.2) (или (1.3)), называется интегральной кривой. Сначала мы и будем изучать уравнение вида (1.3).

Задача теории дифференциальных уравнений состоит в нахождении решения дифференциального уравнения. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Иногда решение находим в неявном виде

Здесь равенство (1.4) и определяет функцию являющуюся решением уравнения (1.3).

Как узнать, что равенство (1.4) определяет решение уравнения Предположим, что равенство (1.4) определяет дифференцируемую функцию Из анализа известно, что, дифференцируя полным образом равенство (1.4), мы получаем равенство

в котором Если есть решение уравнения (1.3), то, подставляя у из (1.5) в (1.3), мы получаем равенство, которое выполняется для функции определенной равенством (1.4). Но подстановка у из (1.5) в (1.3) дает такое же равенство, как подстановка у из (1.3) в (1.5):

Таким образом, равенство (1.4) определяет решение уравнения (1.3), если равенство (1.6) выполнено для функции определенной равенством (1.4). Но если равенство (1.6) выполнено для функции, определенной равенством (1.4), то это значит, что [34]

где функция обладает свойством так как при подстановке имеем ибо найдено из равенства (1.4). Тот факт, что равенство (1.6) выполнено для функции определенной

равенством (1.4), выражают короче словами: равенство (1.6) выполняется в силу равенства (1.4).

Итак, равенство (1.4) определяет решение уравнения (1.3), если равенство (1.6) выполняется в силу (1.4). Это условие необходимое и достаточное.

Пример. Дано дифференциальное уравнение

Покажем, что равенство

определяет решение уравнения (1.8). Дифференцируем равенство (1.9):

Подставим сюда у из (1.8): Это равенство выполнено в силу (1.9).

Заметим еще, что иногда мы интегральную кривую получаем в параметрическом виде

где вспомогательный параметр изменяется в некотором промежутке и выполняется тождество

Исключая параметр из равенства (1.10), получим эту интегральную кривую в обычном виде или в неявном виде