ГЛАВА IV. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ n-го ПОРЯДКА

§ 1. Общая теория линейного уравнения

Если то уравнение называется однородным:

Здесь называется линейным оператором и означает совокупность операций над у, указанных формулой (1.2).

В главе III мы видели, что если непрерывны в области

то существует единственное решение уравнения (1.1) с начальными условиями

где — произвольные числа. Это решение непрерывно в области (1.3).

Замечание 1.1. Решение уравнения (1.2) с начальными условиями единственно и

Сначала рассмотрим уравнение (1.2). Три свойства оператора

Здесь — произвольные постоянные. Доказательства очевидны. Отсюда следует

Теорема 1.1. Если — решения уравнения (1.2), то и — также решение уравнения (1.2) при произвольных .

Линейно независимые функции. Пусть — функции, заданные в промежутке а Функции называются линейно зависимыми в этом промежутке, если существуют постоянные не

все равные нулю, для которых имеем

Если таких постоянных нет, то называются линейно независимыми.

Необходимое условие линейной зависимости Пусть — линейно зависимые, т. е. имеем (1.5), где не все — нули (и m=n). Дифференцируя тождество раз, получаем

Уравнениям (1.5) и (1.6) удовлетворяют не все равные нулю. Но тогда, как известно из алгебры, имеем

Определитель называется определителем Вронского, или вронскианом. Равенство (1.7) и есть необходимое условие линейной зависимости функций

Покажем теперь, что если в решения уравнения (1.2), то это условие является и достаточным для линейной зависимости

Теорема 1.2. Если — решения уравнения (1.2)

то

— линейно зависимые решения в промежутке а

Доказательство. Рассмотрим уравнения

с неизвестными Определитель этой линейной однородной алгебраической системы равен нулю согласно (1.8).

В силу известной теоремы из алгебры система (1.10) имеет ненулевое решение

т. е. здесь не все равны нулю. При таких рассмотрим функцию

Согласно теореме 1.1, это решение уравнения (1.2), а согласно (1.10) и замечанию 1.1, это решение есть

А это означает, что линейно зависимые. А тогда имеем и (1.9). Теорема 1.2 доказана.

Теорема 1.3. Для того чтобы решения уравнения (1.2) были линейно независимые, необходимо и достаточно, чтобы в какой-нибудь точке было И если то и если же то и

Достаточность. Пусть . Тогда и так как если бы оказалось то было бы, согласно теореме 1.2, и равенство (1.9), т. е. чего нет.

Необходимость. Пусть линейно независимые решения уравнения (1.2). Тогда так как иначе они, согласно теореме 1.2, будут линейно зависимые. Теорема 1.3 доказана.

Линейно независимые решения уравнения (1.2) существуют. Действительно, согласно теореме Пикара, существуют решения с начальными условиями

Здесь что и доказывает утверждение. Очевидно и то, что линейно независимых систем решений бесконечное множество, так как по-разному можно построить решения с такими начальными условиями, чтобы определитель Вронского был отличен от нуля.

Общее решение уравнения (1.2).

Теорема 1.4. Если — линейно независимые решения уравнения (1.2), то

есть общее решение в области

Действительно, так как , то из равенств

при любых при которых решение удовлетворяет заданным условиям задачи Коши. А тогда (1.14) действительно является общим решением уравнения (1.2).

Существует линейно независимых решений. Это мы доказали. Но более таких решений быть не может.

Доказательство. Пусть решения уравнения (1.2). Если — линейно независимые, то, согласно теореме 1.4.,

линейно зависимые. Если же линейно зависимые, то где не все тогда имеем линейно зависимые, так как в этом тождестве не все равны нулю.

Линейно независимые решения называются фундаментальной системой решений.

Замечание 1.2. Мы показали, что для фундаментальной системы решений уравнения (1.2) имеем при если в этом промежутке непрерывны. Но если непрерывны лишь в промежутке то может быть, что при Или, например, если непрерывны в области то может быть, что при Это мы увидим позднее.

Неоднородное уравнение (1.1). Уравнение (1.2) называется соответствующим однородным уравнением по отношению к (1.1). Пусть есть решение уравнения (1.1), т. е. Положим тогда

где — новая неизвестная функция. Подставляя это в (1.1), получаем

В силу имеем

является решением соответствующего однородного уравнения. Если фундаментальная система решений уравнения (1.17), то общее решение общее решение уравнения (1.1) есть

т. е. общее решение уравнения (1.1) есть сумма частного решения неоднородного уравнения (1.1) и общего решения соответствующего однородного уравнения (1.2). Очевидным является утверждение, что если и — решения уравнений то есть решение уравнения

Это несколько упрощает в некоторых случаях нахождение частных решений уравнения (1.1).

Но как найти частное решение неоднородного уравнения Лагранж дал способ нахождения этого частного решения, если уже найдена фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения (1.2). Именно формула (1.14) доставляет общее решение однородного уравнения (1.2), если -линейно независимые решения. Будем искать и решение неоднородного уравнения (1.1) в форме (1.14), где считаем неизвестными функциями, которые нужно найти так, чтобы формула (1.14) давала решение неоднородного уравнения. Если подставим у, данное формулой (1.14), в (1.1), то для нахождения получим одно уравнение. Но мы имеем неизвестных Поэтому как-то нужно это уравнение дополнить еще какими-нибудь уравнениями. Мы эти уравнения, следуя Лагранжу, построим так. Найдем у:

Потребуем выполнения равенства

После этого

Теперь полагаем

Продолжая так дальше, получаем

и

Подставляя эти значения у и из (1.14), (1.24) и (1.25) в уравнение (1.1), получаем

Так как то последнее равенство имеет вид

Равенства (1.23) и (1.26) являются алгебраическими линейными неоднородными уравнениями с неизвестными Определитель этой линейной системы есть

поэтому мы единственным образом найдем

через их производные и Отсюда

где — произвольные постоянные. Подставляя эти значения в (1.14), мы получаем решение неоднородного уравнения (1.1)

Это общее решение уравнения (1.1). Если же полагаем то получим частное решение неоднородного уравнения (1.1). Таким образом, для интегрирования уравнения (1.1) надо лишь найти линейно независимых решений однородного уравнения (1.2), после чего легко получить общее решение неоднородного уравнения в виде (1.27). Но мы знаем,

как получить линейно независимых решений во всей области непрерывности коэффициентов

Эти решения мы, очевидно, получим в виде сходящихся рядов Пикара. Однако решение в такой форме не всегда нас удовлетворяет, так как не всегда позволяет изучить поведение решения, в особенности при Поэтому существуют другие способы представления решения линейных уравнений в частных случаях. Далее мы с ними познакомимся.

Покажем теперь, что если известны линейно независимых решений уравнения то интегрирование уравнения (1.2) приводится к интегрированию линейного уравнения -го порядка. Итак, пусть линейно независимые решения уравнения (1.2). Полагаем

Отсюда

Подставим это в (1.1). Получим

Так как то после деления на полученное равенство можно переписать так:

Это уравнение порядка.

Из (1.28) имеем

Здесь являются линейно независимыми решениями уравнения (1.29). То, что -решения уравнения (1.29), понятно. Покажем, что линейно независимы. Действительно, предположим, что линейно зависимые, т. е. где не все равны нулю. Тогда, интегрируя это равенство, на основании (1.28) получаем

— линейно зависимые, что противоречит выбору Следовательно, — линейно независимые

решения уравнения (1.29). Отсюда и следует, что после -кратного введения новой неизвестной функции по формулам типа (1.28) получим уравнение -го порядка. В частности, если имеем уравнение второго порядка

и нам известно одно нетривиальное (т. е. отличное от решение то, полагая

получим для линейное уравнение

откуда найдем

и тем самым найдем общее решение исходного уравнения

Замечание 1.3. Пусть в уравнении вещественные функции. Будем рассматривать комплексное решение

где — вещественные функции. Согласно определению производной, имеем

Подставляя значения этих производных в (1.2), получаем

Полученное равенство выполняется тогда и только тогда, когда

Отсюда видим, что — решение только в том случае, когда и — решения.

Замечание 1.4. Если будем искать решение задачи Коши

где вещественные, то должно быть

А тогда, согласно замечанию 1.1, решение

Два важных примера линейно независимых функций.

1. Функции — линейно независимые, так как если имеем где не все равны нулю, то имеем бесконечное число различных корней этого уравнения, что противоречит теореме из алгебры о том, что их должно быть не более различных.

Рассмотрим функцию где — комплексное с вещественными а и Если X — вещественное, то производные . Покажем, что эта формула остается верной и случае комплексного X.

По формулам Эйлера

Легко видеть, что

т. е.

Но тогда, очевидно, имеем

Замечание 1.5. Пусть где X — постоянное (вещественное или комплексное) и — апхп — полином степени — постоянные. Тогда

где полином степени с коэффициентом, равным при

2. Пусть — неравные между собой постоянные. Покажем, что функции

где — положительные целые числа, линейно независимые.

Доказательство. Предположим противное, т. е. что они линейно зависимы. Тогда, умножая эти функции на постоянные и складывая, получим

где — полиномы степени и, по крайней мере, один из них имеет коэффициент, отличный от нуля. Пусть этим полиномом будет степени Умножим равенство (1.31) на

Здесь так как различны. Дифференцируя это тождество раз, на основании замечания 1.5 получаем

или после умножения на

Здесь полином снова степени т. е. коэффициент при старшей степени отличен от нуля. Повторяя это рассуждение раз, получаем тождество

где полином -степени. Но это невозможно, так как только в том случае, когда все коэффициенты равны нулю. Таким образом, функции (1.30) не могут быть линейно зависимыми.