§ 2. Теорема Ляпунова
Рассмотрим теперь нелинейную систему
которую запишем в векторной форме
где матрица 
— постоянная и 
Здесь, таким образом,
— решение.
Будем предполагать, что в области
элементы 
вектора 
удовлетворяют неравенствам
где 
— постоянные.
Теорема 2.1 (Ляпунова). Если в системе (2.1) все характеристические числа 
матрицы Р удовлетворяют условию 
где 
означает вещественную часть 
, то решение (2.3) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Преобразуем систему (2.1) по формуле
т. е.
где 
матрица из теоремы 7.1 главы V. Получим (см. (8.3) из главы V)
или
где
т. е. вещественная часть канонической жордановой матрицы, соответствующей матрице Р. Здесь, таким образом, согласно предположению
Элементы вектора 
определяются равенствами
где 
— элементы матрицы 
т. е. функции ограниченные.
На основании (2.5) из (2.11) имеем
где 
— постоянное, так как вообще
Из (2.6) имеем
поэтому из (2.12) получим
Система (2.8) разбивается на группы уравнений
где
Запишем систему (2.15) в развернутом виде
Положим здесь
где 
— малая положительная постоянная и 
— новые неизвестные.
Подставим (2.17) в (2.16):
Положим
и на основании (2.18)
Отсюда на основании (2.13) получим
Полагая здесь 
получаем 
неравенств типа (2.21). Всего у нас будет 
величин 
при этом, очевидно,
На основании этого неравенство (2.21) можно заменить неравенством
Пусть 
— наибольшее из 
и а — наибольшее из 
. Тогда имеем 
неравенств
Просуммируем эти неравенства, принимая во внимание, что
Получим
В силу (2.14) 1
и так как 
ибо 
то (2.25) перепишем в виде
Возьмем 
тогда
и из (2.26) имеем
Возьмем начальные значения 
так малыми, что будет
Тогда, как видим из (2.28), 
и, следовательно, функция 
убывает при 
Но тогда все время сохраняется и неравенство (2.28), т. е. имеем при 
откуда, интегрируя в промежутке от 
до 
получаем
Так как 
Следовательно, нулевое решение 
уравнений (2.18) устойчиво, так как при малом 
функция 
не выходит из области (2.32) при 
— как угодно малое. А из (2.31) видим, что при 
будет и 
т. е. нулевое решение асимптотически устойчиво. Из замен (2.6) и (2.17) видно, что и нулевое решение (2.3) асимптотически устойчиво 1. Мы нашли и ту область, из которой не выйдет точка 
решения уравнений (2.1), если начальная точка 
взята в окрестности начала координат.
Эта область дается неравенством (2.32) в переменных 
что на основании указанных замен легко записать и в переменных 
