ГЛАВА X. СРАВНЕНИЕ РЕШЕНИЙ ПОЛНОГО И УКОРОЧЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В главе III, рассматривая систему (12.8), мы показали, что при некоторых предположениях относительно матрицы коэффициентов соответствующей линейной системы

решение полной системы (12.8) можно представить в виде сходящегося ряда от решений этой линейной системы. Рассмотрим этот вопрос намного полнее для одного дифференциального уравнения первого порядка К Но сначала проведем некоторые общие рассуждения.

§ 1. О функциональных соотношениях между исчезающими функциями

Пусть даны функции при Предположим, что

где при — ограниченная функция. Ставим вопрос: когда можно написать в каком-то смысле

Именно, когда ряд (1.1) сходится и когда он будет асимптотическим? Когда будут постоянными?

Предположим, что существуют пределы

Тогда будем говорить, что представимо асимптотически рядом (1.1) через В этом случае представимо приближенно в виде

при больших в том смысле, что мало при малых и, следовательно, при больших функцию у имеем в виде с точностью до малых порядка Но могут, конечно, оказаться и такими, что ряд (1.1) будет сходиться при достаточно малых Но для того чтобы сумма ряда была равна очевидно, надо, чтобы было

при и при иначе и при сходящемся ряде (1.1) имеем лишь асимптотическое представление

Пусть теперь не имеет постоянного предела при но при имеем

где , а — ограниченная колеблющаяся неисчезающая функция. Тогда можно взять Предположим теперь, что

где — функция, ограниченная неисчезающая. Тогда полагаем Если этот процесс можно продолжать неограниченно, то возникает равенство (1.1), где ряд справа асимптотически представляет функцию через Но может, конечно, этот ряд оказаться и сходящимся, если, например, будет Также может возникать асимптотическое разложение другого вида. Пусть, например,

где обладают указанными свойствами. Продолжая это рассуждение, получим и асимптотическое представление

где — бесконечно возрастающая последовательность положительных чисел, ограниченные неисчезающие функции. Еще более общим представлением будет

где такие как прежде, а при при — бесконечно малые повышающихся порядков при

Если рассматриваем представление (1.1), то вообще будет

где при — ограниченная неисчезающая функция при

Пример, Очевидно, так как

неисчезающая, ибо обращается в нуль в точках