§ 8. Вязкость газа

Вычисление вязкости газа с помощью кинетического уравнения производится аналогично вычислению теплопроводности. Разница состоит в том, что отклонение от равновесия обусловлено не градиентом температуры, а неоднородностью потока газа по скорости макроскопического движения V. При этом снова предполагается, что характерные размеры задачи

Существуют, как известно, два вида вязкости, коэффициенты которых принято обозначать посредством . Они определяются как коэффициенты в тензоре вязких напряжений входящем как часть в тензор плотности потока импульса:

где определено согласно (6,12) (см. VI, § 15). В несжимаемой жидкости проявляется лишь вязкость . «Вторая» же вязкость проявляется при движениях, в которых Оба коэффициента целесообразно вычислять раздельно.

Опустив в общем кинетическом уравнении (6,19) член с градиентом температуры, перепишем его в виде

где в левой стороне разделены члены, создающие первую и вторую вязкости. При вычислении первой вязкости надо считать, что .

Получающееся уравнение тождественно перепишем в виде

где оба тензорных множителя в левой стороне имеют равный нулю след.

Решение этого уравнения ищем в виде

где — симметричный тензор; поскольку след , то прибавлением к члена слбар можно всегда добитвся того, чтобы было и не меняя при этом функции Для имеем уравнение

Дополнительные условия (6,3) удовлетворяются автоматически.

Поток импульса вычисляется по функции распределения как интеграл (5,8). Интересующая нас часть этого тензора — тензор вязких напряжений дается интегралом

Величины составляют тензор четвертого ранга, симметричный по парам индексов и и дающий нуль при упрощении по паре . Ввиду изотропии газа этот тензор может выражаться только через единичный тензор . Выражение, удовлетворяющее этим условиям:

Тогда так что есть искомый скалярный коэффициент вязкости. Он определяется путем упрощения тензора по парам индексов и :

В одноатомном газе является функцией только от вектора V. Общий вид такого симметричного тензора с равным нулю следом есть

с одной только скалярной функцией .

В многоатомных газах тензор составляется с помощью большего числа переменных, в том числе двух векторов v и М. В отсутствие стереоизометрии может содержать только истинно-тензорные члены; в газе стереоизомерного вещества допускаются также и псевдотензорные члены.

Оценка коэффициента вязкости, аналогичная оценке (7,10) для коэффициента теплопроводности, приводит к известной элементарной газокинетической формуле

(см. примечание на стр. 58). При этом температуропроводность и кинематическая вязкость оказываются одинакового порядка величины:

Положив в получим

Все сказанное в § 7 о зависимости к от давления и от температуры относится и к коэффициенту вязкости .

Для вычисления второго коэффициента вязкости надо считать отличным от нуля второй член в левой стороне кинетического уравнения (8,3):

Ищем решение в виде

и для функции g находим уравнение

Вычислив тензор напряжений и сравнив его с выражением , получим коэффициент вязкости в виде

У одноатомных газов и левая сторона уравнения (8,16) обращается в нуль.

Из уравнения следует тогда, что и а потому и . Мы приходим, таким образом, к интересному результату: у одноатомных газов вторая вязкость равна нулю.

Задача

Показать, что вторая вязкость газа ультрарелятивистских частиц равна нулю (И. М. Халатников, 1955).

Решение. Энергия релятивистской частицы в системе отсчета К, в которой газ движется с (нерелятивистской) скоростью V, связана с ее энергией в системе К, в которой газ покоится, формулой где — импульс частицы в системе К (это — формула преобразования Лоренца, в которой опущены члены более чем первого порядка по V). Функция распределения в системе где - распределение Больцмана.

Интересуясь лишь вязкостью, мы можем с самого начала считать равными нулю градиенты всех макроскопических величин, за исключением лишь скорости V; тогда и так что последний член в (6,10) выпадает. В (6,11) первые два члена тоже отсутствуют, а третий заменяется на

(направления совпадают, поэтому ). Уравнения непрерывности и сохранения энтропии в использованном в § 6 виде остаются справедливыми и при движении (с малыми скоростями V) релятивистского газа. Поэтому остаются в силе и формулы (6,16). В результате кинетическое уравнение принимает вид

В задаче о второй вязкости надо положить , и тогда

В ультрарелятивистском газе а теплоемкость (см. V, § 44, задача), так что левая сторона уравнения, а с нею и обращаются в нуль.