§ 20. Флуктуации функции распределения в неравновесном газе

Пусть газ находится в стационарном, но неравновесном состоянии с некоторой функцией распределения , удовлетворяющей кинетическому уравнению

Функция может сильно отличаться от равновесной функции распределения так что интеграл столкновений не предполагается линеаризованным по разности . Стационарное неравновесное состояние должно поддерживаться в газе внешними воздействиями: в газе может иметься поддерживаемый внешними источниками градиент температуры, газ может совершать стационарное движение (не сводящееся к движению как целого) и т. п.

Поставим задачу о вычислении флуктуаций функции распределения относительно . Эти флуктуации будут снова характеризоваться коррелятором (19,1), в котором усреднение производится обычным образом по времени при заданной разности и коррелятор зависит только от t. Ввиду неоднородности распределения , однако, коррелятор будет зависеть теперь от координат по отдельности, а не только от их разности.

Свойство (19,4) запишется теперь в виде

где

Соотношение же (19,5), связанное с обращением времени, в неравновесном случае, вообще говоря, отсутствует.

Коррелятор функции распределения по-прежнему удовлетворяет тому же уравнению (19,10):

где - линейный интегральный оператор (19,11), действующий на переменные . Вопрос же о начальном условии к этому уравнению, т. е. о виде одновременного коррелятора, значительно более сложен, чем в равновесном случае, где он давался просто выражением (19,6). В неравновесном газе одновременный коррелятор сам определяется из некоторого кинетического уравнения, вид которого можно установить, воспользовавшись связью корреляционной функции с двухчастичной функцией распределения введенной в § 16. В стационарном состоянии функция как и , не зависит явно от времени.

Для вывода этой связи замечаем, что ввиду бесконечной малости фазового объема в нем может находиться одновременно не более одной частицы. Поэтому среднее число есть в то же время вероятность частице находиться в элементе (вероятность же нахождения в нем сразу двух частиц есть величина более высокого порядка малости). Отсюда же следует, что среднее значение произведения чисел частиц в двух элементах совпадает с вероятностью одновременного нахождения в каждом из них по одной частице. Для заданной пары частиц это есть, по определению двухчастичной функции распределения, произведение Но поскольку пара частиц может быть выбрана из (очень большого) полного числа частиц способами, то

Получающееся таким образом равенство относится, однако, лишь к различным точкам фазового пространства.

Переход же к пределу требует учета того, что если совпадают, то атом, находящийся в тем самым находится и в Соотношение, учитывающее это обстоятельство, имеет вид

Действительно, умножим это равенство на и проинтегрируем по некоторому малому объему Первый член справа дает при этом малую величину второго порядка член же с -функциями дает т. е. величину первого порядка. Мы получим, следовательно,

как и должно быть, принимая во внимание, что с точностью до величин первого порядка в малом объеме может находиться лишь 0 или 1 частица.

Подставив (20,4) в определение одновременного коррелятора

получим искомую связь между ним и двухчастичной функцией распределения:

В равновесном идеальном газе двухчастичная функция распределения сводится к произведению и тогда (20,5) сводится к (19,6). В любом случае стремится к указанному произведению при увеличении расстояния между точками 1 а 2, так что

Двухчастичная функция распределения удовлетворяет кинетическому уравнению, аналогичному уравнению Больцмана. Это уравнение можно было бы вывести из уравнения (16,9) для подобно тому, как уравнение для одночастичной функции было выведено из (16,7). Мы, однако, дадим здесь вывод уравнения для аналогичный основанному на наглядных физических соображениях выводу уравнения Больцмана в § 3.

Будем рассматривать в качестве неизвестной не самую функцию а разность

обращающуюся в нуль при (коррелятор (20,5) без последнего члена). Эта величина является малой в обычном в теории флуктуаций смысле порядка по сравнению

В отсутствие столкновений функция удовлетворяет уравнению, выражающему собой просто теорему Лиувилля — постоянство вдоль фазовой траектории пары частиц:

Изменение же за счет столкновений связано с процессами двоякого рода.

Столкновения частиц 1 и 2 со всеми остальными частицами, но не друг с другом, приводят к появлению в правой стороне уравнения (20,8) членов , где - линейные интегральные операторы (19,11), действующие соответственно на переменные .

Столкновения же частиц 1 и 2 друг с другом играют особую роль; они приводят к одновременному «перескоку» обеих частиц 1 и 2 из одной пары точек фазового пространства в другую. В точности те же соображения, что и при выводе (3,7), дают в правой стороне (20,8) член вида где

(в этом интеграле флуктуациями можно пренебречь); множитель выражает тот факт, что столкновения испытывают частицы, находящиеся в одной точке пространства.

Таким образом, окончательно приходим к следующему уравнению:

(20,10)

Решив это уравнение, мы получим согласно (20,5) функцию, играющую роль начального условия к уравнению (20,3) при .

Без правой части однородное уравнение (20,10) имеет решение

отвечающее произвольным малым изменениям числа частиц, температуры и макроскопической скорости в равновесном распределении

Это «паразитное» решение, однако, исключается условием при Поэтому в равновесном случае, когда интеграл тождественно обращается в нуль, из уравнения (20,10) следует и мы возвращаемся к начальному условию (19,6).

Правая сторона уравнения (20,10), т. е. парные столкновения между частицами в заданных состояниях Г! и является, таким образом, источником одновременной корреляции флуктуаций в неравновесном газе. Приводя к одновременному изменению чисел заполнения двух состояний, парные столкновения порождают корреляцию между этими числами. В равновесном состоянии, ввиду точной компенсации прямых и обратных парных столкновений, этот механизм неэффективен и одновременные корреляции отсутствуют.

Если распределение не зависит от координат (как это может быть при поддержании неравновесности внешним полем), то можно поставить вопрос о флуктуациях функции распределения, усредненной по всему объему газа, т. е. о флуктуациях функции

(20,12)

(которую мы обозначим той же буквой , но без аргумента ). Соответствующая корреляционная функция удовлетворяет уравнению, отличающемуся от (20,3) отсутствием члена с производной по координатам:

в левой стороне добавлен член, связанный с силой F, действующей на частицы во внешнем поле. Одновременный же коррелятор

(20,14)

удовлетворяет уравнению

(20,15)

Если газ находится в замкнутом сосуде, то это уравнение должно решаться при дополнительном условии, выражающем собой заданность (т. е. отсутствие флуктуаций) полного числа частиц в газе:

(20,16)

Это условие должно выполняться и в равновесном случае. Между тем выражение соответствующее коррелятору (19,6), ему не удовлетворяет. Правильное выражение можно получить за счет произвола (20,11); подобрав должным образом параметр , получим

(20,17)

Отметим, что этот коррелятор содержит также и не -функционный член.