§ 54. Диэлектрическая проницаемость магнитоактивной максвелловской плазмы

Электронный вклад в тензор диэлектрической проницаемости вычисляется по функции распределения согласно формуле

(и аналогично, с заменой - ионный вклад). Для максвелловской плазмы интегрирование по в этом выражении может быть выполнено в явном виде.

Функция дается интегралом (53,12), причем согласно определению (53,10):

Перепишем этот интеграл в более компактном виде, введя вместо векторов векторы

где — вектор повернутый на угол (в плоскости, перпендикулярной ), а - вектор повернутый на угол . Тогда примет вид

где - максвелловская функция распределения.

Это выражение подставим в (54,1) и заменим переменную интегрирования согласно

Интегрирование по производится элементарно, и в результате находим

При этом, согласно определению (54,3):

Расписав выражение (54,4) в компонентах, найдем компоненты тензора При этом условимся о выборе осей координат: ось z — по ось ось (рис. 15). После простых вычислений получим

где

( - Ларморов радиус электронов).

Отметим, что равенства

заранее очевидны. Действительно, при фиксированной системе координат согласно принципу Онсагера должно быть При условленном же выше выборе осей, связанных с направлениями направления осей у и z при замене , меняются на обратные. Поэтому в таких осях будет

С другой стороны, (направление оси ) — псевдовектор, а (направления осей и -истинные векторы.

Поэтому, в силу требования инвариантности по отношению к инверсии координат, компоненты (содержащие индекс z один раз) должны быть нечетными, а все остальные компоненты — четными функциями Отсюда и из (54,8) следует (54,7).

Отметим, что ввиду соотношений (54,7) эрмитовы и антиэрмитовы части различных компонент выражаются по-разному через их вещественную и мнимую части. Именно, разбиение на эрмитову и антиэрмитову части дается следующей суммой:

Рис. 15.

Хотя мы производили все вычисления для электронной части проницаемости, но вполне аналогичные формулы справедливы и и для ионного вклада. Переход к случаю ионов совершается заменой и одновременной заменой верхнего предела интеграла в (54,5) на (см. примечание на стр. 270). Заменив затем переменную интегрирования мы вернемся к прежним выражениям (54,5-6) с вместо и с тем лишь отличием, что изменится знак Таким образом, правило перехода от электронного к ионному вкладу в проницаемость состоит в замене электронных параметров ионными с одновременным изменением знака компонент