§ 85. Гальваномагнитные явления в сильных полях. Частные случаи

Замкнутые траектории

Начнем со случаев, когда все (т. е. при всех ) импульсные траектории электронов при заданном направлении В замкнуты. Траектории всегда замкнуты при любом направлении В при замкнутых ферми-поверхностях. Что касается открытых ферми-поверхностей, то здесь возможны как случаи, когда траектории замкнуты при любом направлении В, так и случаи, когда сечения замкнуты лишь при определенных (или в определенных интервалах) направлениях поля.

При движении по замкнутой (в плоскости ) траектории средние значения скоростей в этой плоскости равны нулю: это ясно из уравнений движения (84,2) с учетом того, что при прохождении траектории возвращаются к исходным значениям. Значение же всегда отлично от нуля ввиду инфинитности движения в направлении поля. Первое из равенств (84,15) дает теперь

откуда

Решение (84,14) принимает в этом случае

(интегрирование функции ) произведено с помощью уравнений (84,2)).

Компоненты тензора проводимости вычисляются по формуле (84,11). Так,

( снова выражено с помощью (84,2)). Поскольку не зависит от , интегрирование по в первых двух членах сводится к интегрированию производных и и дает нуль. Таким образом, вклад в интеграл дает лишь член с так что

Далее, вычисляем

Интегрирование второго члена снова дает нуль, а в первом имеем

где — площадь сечения ферми-поверхности плоскостью . Знаки + и — относятся соответственно к случаям, когда внутри контура находится область меньших или больших энергий, т. е. когда замкнутая траектория является электронной или дырочной (см. IX, § 61); обозначим площадь S в первом случае как а во втором — как Разница в знаках в этих случаях возникает от изменения направления обхода траектории. Интегрирование площади S по дает объем Q импульсного пространства, заключенный внутри ферми-поверхности (если замкнутые траектории расположены на открытой ферми-поверхности, то - объем, ограниченный этой поверхностью и гранями ячейки обратной решетки). Таким образом,

где — объемы электронных и дырочных полостей ферми-поверхности. Величины

представляют собой соответственно числа занятых электронных состояний с энергиями и свободных состояний с (отнесенные к единице объема кристалла).

В случае замкнутых ферми-поверхностей эти понятия имеют вполне определенный смысл и величины представляют собой характеристику электронного спектра металла, не зависящую от направления поля В; в случае же открытых поверхностей смысл этих величин становится более условным, так как они могут оказаться зависящими от направления В.

Выражение (85,2) — нечетная функция В и потому входит в антисимметричную часть тензора Компонента же симметричной части тензора дается следующим членом разложения пропорциональным .

Аналогичным образом определяется зависимость от В остальных компонент . Так,

Интегрирование по вносит множитель от В не зависит; поэтому и не зависит от В.

В результате найдем, что

При этом все компоненты и а зависят от вида интеграла столкновений, за исключением лишь

Отметим, что все , за исключением лишь стремятся при к нулю. Физическая причина такого поведения состоит в локализации электронов на орбитах, малых по сравнению с длиной пробега; конечность же связана с тем, что движение электронов вдоль магнитного поля всегда остается инфинитным.

Малым параметром разложения является отношение Поэтому пропорциональные компоненты можно оценить по порядку величины как

Обратим внимание на то, что это значит, что при увеличении длины пробега поперечная проводимость в магнитном поле стремится к нулю, а не к бесконечности, как в отсутствие поля.

Компоненты же антисимметричной части тензора оцениваются как

Подчеркнем, однако, что независимость этой оценки от I не означает независимости точных значении от конкретного вида интеграла столкновений (исключение составляет лишь точное вычисление тензора требовало бы полного определения функций ) путем решения конкретного кинетического уравнения.

Из (85,3) можно найти также предельные законы зависимости от В компонент обратного тензора Сохраняя лишь члены наиболее низкого порядка по найдем

(85,4)

причем все эти величины зависят от вида интеграла столкновений, за исключением лишь

Все компоненты стремятся при к постоянным пределам.

Особого рассмотрения требуют компенсированные металлы, в которых . В этом случае выражение (85,2) обращается в нуль и разложение начинается с члена, пропорционального . Таким образом, в этом случае

зависимость же от В остается прежней. Для обратного тензора получим теперь

Открытые траектории

Для металлов с открытыми ферми-поверхностями, допускающими открытые траектории, возможны разнообразные случаи, из которых мы рассмотрим здесь лишь один, иллюстрирующий характерные особенности возникающей ситуации.

Рассмотрим ферми-поверхность типа «гофрированного цилиндра», проходящего непрерывно из одной ячейки обратной решетки в следующие (рис. 30). Если магнитное поле не перпендикулярно оси цилиндра, все сечения замкнуты; при этом асимптотическая зависимость от В дается прежним законом (85,3).

Рис. 30.

Рис. 31.

Если же магнитное поле перпендикулярно оси цилиндра, то существуют открытые сечения. Как всегда, выбираем ось вдоль направления поля; ось же в этом случае направим вдоль оси цилиндра (на рис. 31 изображен разрез участка ферми-поверхности в одной ячейке). Траектории открыты при причем инфинитны в направлении оси Средние значения скорости:

поскольку меняется неограниченно; как всегда, Из компонент вектора в решении кинетического уравнения будут теперь отличны от нуля и потому в решении кинетического уравнения (85,1) вторая строка заменится на

Аналогично тому, как это было сделано выше, найдем теперь, что

Для обратного тензора получим отсюда

Обратим внимание на резкую анизотропию сопротивления в плоскости, перпендикулярной магнитному полю: сопротивление вдоль оси у стремится к постоянному пределу, в то время как в направлении оси оно возрастает с увеличением поля пропорционально его квадрату.

Другой характерной особенностью гальваномагнитных свойств металлов с открытой поверхностью Ферми является их резкая зависимость от направления сильного магнитного поля. В данном случае изменение имеет место при приближении направления В к плоскости, перпендикулярной оси цилиндра, когда происходит переход от законов (85,3-4) к законам (85,8-9). Когда направление В наклонено под малым углом к указанной плоскости (см. рис. 30), размеры импульсной траектории электрона становятся большими — порядка где - поперечные размеры цилиндрической ферми-поверхности. Соответственно становится большим и размер траектории в истинном пространстве — порядка где — ларморовский радиус, отвечающий импульсу . В области углов, для которых использованное выше разложение по степеням становится неприменимым; в ней и происходит изменение зависимости сопротивления от поля.

Подчеркнем, что во всем изложении речь шла, разумеется, о монокристаллах. В поликристаллическом образце происходит усреднение анизотропных гальваномагнитных свойств, зависящее от распределения кристаллитов по направлениям.

Аналогичным образом можно было бы рассмотреть термомагнитные явления в металле в сильном магнитном поле. При этом оказалось бы, в частности, что компоненты тензора электронной теплопроводности стремятся при к нулю. Но в этих условиях становится существенным перенос тепла фононами, возникает необходимость в учете также и электрон-фононного взаимодействия и вся картина сильно усложняется.