§ 71. Гидродинамика фононного газа в диэлектрике

Приближенное сохранение квазиимпульса при условии малости длины пробега для нормальных столкновений по сравнению с длиной пробега для процессов переброса,

делает систему фононов в кристалле при низких температурах во многих отношениях подобной обычному газу.

Нормальные столкновения устанавливают внутреннее равновесие в каждом элементе объема газа (большом по сравнению с ), который может при этом двигаться с произвольной скоростью V. Если скорость V и температура Т заметно меняются лишь на расстояниях, больших по сравнению с (и за времена, большие по сравнению с ), то для них можно получить систему «гидродинамических» уравнений. Построим их в линейном приближении по скорости V и градиенту температуры, которые будем считать малыми величинами одинакового порядка. Кроме того, для упрощения записи формул будем снова (как и в § 69) считать, что кристалл имеет кубическую симметрию.

Одно из искомых уравнений выражает собой закон сохранения энергии. Оно получается подстановкой в (67,3-4) функции распределения (69,2). Интегралы от и от обращаются в нуль при интегрировании по направлениям k (ср. примечание на стр. 352). Функция зависит от координат и времени только через посредство Т. Пренебрегая членом с произведением получим

где

— равновесная плотность энергии, а определено в (69,8).

Другое уравнение выражает собой сохранение (приближенное) квазиимпульса. Оно получается из кинетического уравнения

подстановкой в него N в виде (69,2), умножением на к, интегрированием по и суммированием по сортам фононов. Интеграл от обращается в нуль в силу сохранения квазиимпульса при нормальных столкновениях. В результате получим

из (69,8). Уравнения (71,2) и (71,5) и составляют искомую систему гидродинамических уравнений для фононного газа в диэлектрике.

Экспоненциально малый (вместе с ) член в правой стороне уравнения (71,5) представляет влияние процессов переброса. В пренебрежении этим членом квазиимпульс сохраняется строго. В таких условиях в фононном газе могут распространяться незатухающие волны, аналогичные волнам второго звука в сверхтекучей жидкости {В. П. Пешков, 1946).

Действительно, исключив V из (71,2) и (71,5), получим

т. е. волновое уравнение, описывающее распространение колебаний температуры со скоростью

Как уже отмечалось вклады в интегралы при низких температурах возникают в основном только от акустических ветвей спектра. Для линейных законов дисперсии со интегралы пропорциональны при этом скорость (71,7) не зависит от температуры и имеет порядок величины скорости звука.

До сих пор мы подразумевали, что размеры кристалла неограничены. При низких температурах, когда длина пробега фононов быстро растет, может стать реальной ситуация, когда длина пробега становится сравнимой или даже большой по сравнению с размерами кристалла L. Это относится в первую очередь к экспоненциально возрастающей длине

Рассмотрим теплопередачу в диэлектрике в условиях, когда (это условие будет уточнено ниже), но в то же время еще последнее условие позволяет пользоваться уравнениями фононной гидродинамики {J. A. Sttssfnann, A. Thellung, 1963; Р. Я. Гуржи, 1964).

Благодаря микроскопическим неоднородностям поверхности кристалла, отражение фононов от нее происходит обычно беспорядочным образом (как говорят, диффузно); это значит, что макроскопическая скорость фононного газа V обращается на границе в нуль. Но уравнения (71,2), (71,5) не допускают такого граничного условия; их решениями можно удовлетворить лишь условию обращения в нуль нормальной к поверхности компоненты скорости. Как и в гидродинамике обычных жидкостей, граничное условие исчезновения тангенциальной компоненты скорости требует учета вязкости жидкости.

В стационарном случае из уравнения (71,2) имеем т. е. фононный газ ведет себя как несжимаемый. Учет вязкости приводит к появлению в правой части уравнения (71,5) члена с , подобного аналогичному члену в уравнении Навье—Стокса гидродинамики обычной вязкой жидкости.

В стационарном случае это уравнение принимает вид

Величина имеет размерность и играет роль кинематической вязкости фононного газа. Ее вычисление требует в принг ципе решения соответствующего кинетического уравнения. Для оценки же по порядку величины можно воспользоваться обычной гэзокинетичеекой формулой согласно которой

Размерные эффекты играют преобладающую роль, когда в уравнении (71,8) можно пренебречь членом по сравнению с Пусть, например, речь идет о теплопередаче вдоль цилиндрического стержня с толщиной R. Последняя определяет характерную длину для изменения скорости V, так что Мы видим, что членом можно пренебречь, если С оценкой (71,9) это условие записывается как где

(71,10)

играет роль эффективной длины пробега фононов в ограниченном теле. Напротив, при размеры тела несущественны и справедлив закон (69,14).

Процесс теплопередачи вдоль стержня при принимает характер пуазеилевского течения вязкого фононного газа. Его можно характеризовать эффективным коэффициентом теплопроводности, определяющим плотность потока энергии как — , где -градиент температуры вдоль стержня. Этот поток можно оценить, подставив (71,10) в выражение При низких температурах теплоемкость решетки . Длина же (согласно (69,15)). Поэтому эффективная теплоп роводность

(71.11)

она убывает с понижением температуры.

Наконец, при еще более низких температурах, когда уже и длина столкновения фононов друг с другом становятся вообще несущественными (подобно кнудсеновской ситуации в сильно разреженных обычных газах).

Роль длину пробега переходит тогда к размерам тела R и эффективная теплопроводность

(71,12)