§ 47. Взаимодействие через плазменные волны

В некоторых случаях учет динамического экранирования кулоновского взаимодействия частиц в плазме приводит не только к уточнению аргумента кулоновского логарифма, но и к качественно новым эффектам. Для их изучения представим интеграл столкновений в виде, точно учитывающем вклад от рассеяния на малые углы и лишь с логарифмической точностью — вклад от рассеяния на большие углы.

В квазиклассическом случае большие углы рассеяния происходят от малых прицельных расстояний:

Искомый интеграл столкновений имеет вид интеграла Ландау с величинами из (46,15):

где интегрирование производится по области до

(47,2)

В обратном, борновском случае искомая форма интеграла столкновений получается путем разложения подынтегрального выражения в (46,7) по степеням q.

В результате снова приходим к интегралу Ландау с величинами дающимися той же формулой (47,1) с тем лишь отличием, что теперь

(значение при передаче импульса ). Напомним снова, что физический смысл обрезания на больших значениях k один и тот же в классическом и борновском случаях обрезание производится на углах рассеяния 1; разная связь между в этих случаях приводит, однако, к разным выражениям для

Интеграл столкновении Ландау с величинами из (47,1) называют интегралом Балеску—Ленарда. Перепишем (47,1) в более удобном для последующего виде:

где теперь интегрирование производится по трехмерным (вместо двумерных) векторам k. Две -функции в подынтегральном выражении обеспечивают равенство т. е. поперечность к по отношению к Интегрирование же по заменяет аргумент в требуемым значением .

Обратим внимание на то, что множитель в подынтегральном выражении в (47,4) обращается в бесконечность при тех значениях и к, для которых , т. е. при значениях, отвечающих закону дисперсии продольных плазменных волн. Эти значения к могут внести большой вклад в интеграл столкновений. Физически этот вклад можно описать как результат взаимодействия между частицами, осуществляемого путем испускания и поглощения ими плазменных волн. Эффект, однако, будет значительным, лишь если в плазме имеется достаточно много частиц, скорости которых сравнимы с фазовой скоростью волн или превышают ее (только для таких частиц может выполняться требуемое соотношение ).

Рассмотрим плазму, в которой электроны и ионы имеют каждые свою температуру Те и При в плазме могут распространяться (без заметного затухания) только электронные плазменные волны, фазовая скорость которых число электронов, могущих «обмениваться» волнами в этом случае, следовательно, экспоненциально мало.

Если же , то в плазме могут распространяться также и ионно-звуковые волны, фазовая скорость которых удовлетворяет неравенствам

Эти волны могут дать существенный вклад в интеграл столкновений между электронами (В. П. Силин, 1962).

Выделим из электрон-электронных величин часть, связанную с этим эффектом; обозначим ее через . Она возникает от области интегрирования в (47,4), лежащей в окрестности корня уравнения , отвечающего закону дисперсии ионно-звуковых волн. Сам по себе этот корень со комплексен с малой мнимой частью (коэффициент затухания волны); когда пробегает вещественные значения в области интегрирования, вещественная часть функции проходит через нуль, а мнимая остается малой. Имея в виду формулу (30,9), представим множитель в подынтегральном выражении в (47,4) в виде

Для электрон-электронного интеграла столкновений скорости v и v' в (47,4) относятся к электронам, а в силу неравенства в аргументах обеих -функций можно опустить члены . Таким образом, интересующая нас часть В принимает вид

причем интегрирование по производится (при заданном ) по области (47,5).

Преобразуем интеграл по к новым переменным

где — единичный вектор в направлении . Прямым вычислением якобиана преобразования находим, что заменяется на

Интегрирование устраняет -функции (в силу которых после чего будет . Переменная пробегает как положительные, так и отрицательные значения; условившись интегрировать только по положительным значениям, пишем

Диэлектрическая проницаемость двухтемпературной плазмы в области ионно-звуковых волн (47,5) дается формулами

Главный вклад в интеграл по в (47,7) вносит (как это будет подтверждено дальнейшим вычислением) область поэтому последним членом в можно пренебречь. Заметив, что

и выполнив в (47,7) интегрирование по находим

или, подставив выражение для и введя переменную ,

где

В силу условий (47,5), интегрирование в (47,9) должно производиться по области Поскольку интеграл сходится на малых , нижний предел можно положить равным нулю.

При интеграл в (47,9) стремится к нулю; предполагая достаточно большим, вычислим его в логарифмическом приближении, т. е. ограничившись лишь первым членом разложения по . Основной вклад в интеграл возникает от области, в которой можно пренебречь экспоненциальным членом в знаменателе. Для этого должно быть т. е. интеграл надо брать в пределах от 0 до , что дает просто Таким образом, окончательно имеем

Полное значение величин в электрон-электронном интеграле столкновений получается сложением (47,11) с обычным кулоновским выражением (41,8), причем в аргументе кулоновского логарифма L дебаевский радиус

Вклад плазменных волн (47,11) становится преобладающим при

(47,12)