§ 23. Флуктуации в слабо ионизованном неравновесном газе

В этом параграфе мы рассмотрим флуктуации функции распределения электронов в стационарном неравновесном состоянии слабо ионизованного газа; газ пространственно однороден и находится в постоянном однородном электрическом поле Е.

Мы будем интересоваться лишь временной, но не пространственной корреляцией флуктуаций. Тогда имеет смысл ввести вместо зависящей от координат точной (флуктуирующей) функции распределения усредненную по всему объему газа функцию

(которую мы будем в этом параграфе обозначать той же буквой без аргумента ); эта функция флуктуирует только со временем. Функция же по отношению к которой флуктуирует есть найденное в предыдущем параграфе распределение (22,8).

Для рассматриваемой системы представляют особый интерес не столько флуктуации функции распределения самой по себе, сколько связанные с ними флуктуации плотности электрического тока j. Корреляторы этих величин связаны друг с другом очевидной формулой

причем, разумеется, есть флуктуация плотности тока, усредненная по объему газа.

Решение задачи для неравновесного газа основано на указанном в § 20 общем методе.

Согласно этому методу, коррелятор удовлетворяет (по переменным ) кинетическому уравнению (22,1), которое играет в данном случае роль уравнения (20,13) общего метода. Вместе с этим коррелятором такому же уравнению удовлетворяет и функция

через которую в свою очередь выражается искомый коррелятор тока:

Таким образом, имеем уравнение

Кинетическое уравнение (22,1) учитывает столкновения электронов только с молекулами, но не друг с другом. Поэтому здесь нет механизма, устанавливающего одновременную корреляцию между электронами с различными импульсами и «начальное» условие для функции будет таким же, как и в равновесном состоянии. Поскольку речь идет о флуктуации функции распределения, усредненной по всему объему газа, то должно быть учтено постоянство числа частиц (электронов). Согласно (20,17), при таком условии имеем

( - плотность электронов), откуда для начальной функции

где - средняя скорость электронов в состоянии с распределением . Скорость V направлена, разумеется, вдоль поля Е; напишем ее в виде

где b — подвижность. Постоянство полного числа электронов означает также, что и потому

Следуя описанному в § 19 методу, совершаем над уравнением (23,5) одностороннее преобразование Фурье: умножаем его на и интегрируем по t в пределах от 0 до . При этом член преобразуется по частям с учетом начального условия (23,6) и условия

В результате получим уравнение

где

(23,10)

В силу (23,8), это уравнение должно решаться при дополнительном условий

(23,11)

Если решение уравнения (23,9) найдено, то искомое спектральное разложение коррелятора токов можно найти простым интегрированием. Действительно, пишем

и, поступив затем в точности аналогично выводу (19,14), получим

(23,12)

Ниже будем считать для конкретности, что длина пробега . В равновесном состоянии, в отсутствие электрического поля, функция f есть равновесное максвелловское распределение ). Решение уравнения (23,9) есть тогда

в чем легко убедиться, заметив, что

(23,14)

Если (где - время релаксации по направлениям импульса), то в (23,13) можно пренебречь членом в знаменателе. Вычислена интеграла (23,12) приводит тогда к результату

(23,15)

где — проводимость газа в слабом поле; — подвижность в слабом поле, даваемая формулой (22,17). Результат (23,15) соответствует, конечно, общей формуле Найквиста для равновесных флуктуаций тока (см. IX, § 78).

Действительно, рассмотрим цилиндрический вдоль оси объем газа. Поскольку плотность тока уже усреднена по объему, то полный ток где S — площадь сечения цилиндра. Из (23,15) имеем тогда

(23,16)

где - длина образца, а - его сопротивление.

При уравнение (23,9) решается последовательными приближениями, подобно тому, как решалось уравнение (22,6). Но в то время, как уравнение (22,6) определяло скалярную функцию, уравнение (23,9) написано для векторной функции. Первые члены разложения такой функции (зависящей от двух векторов—постоянного Е и переменного ) напишем в виде

(23,17)

причем (здесь ). Функция же есть

(23,18)

с вычисленными в предыдущем параграфе

Подставим (23,17-18) в уравнение (23,9) и отделим в нем члены, нечетные и четные по . Снова полагая получим, собрав нечетные члены:

здесь опущены члены, заведомо малые (в отношении ) по сравнению с написанными. Отсюда

(23,19)

Что касается четных по членов, то они должны удовлетворять уравнению (23,9) лишь после усреднения по направлениям соответствии с тем, что выражение (23,17) дает лишь первые члены разложения искомой функции. После несложного вычисления (с использованием выражений (23,19)) получается следующее уравнение для функции :

(23,20)

где

Это уравнение надо решать при дополнительном условии

(23,21)

к которому сводится (23,11) при подстановке в него (23,17).

По известной функции искомый коррелятор тока определяется формулой (23,12). При подстановке в нее разложения (23.17) и простого преобразования с использованием (23,19) получается

Член - в уравнении (23,20) становится существенным при , т. е. при , где - время релаксации по энергиям электронов. С таких частот начинается, следовательно, дисперсия флуктуаций тока.

В общем случае уравнение (23,20) очень сложно. Ограничимся, для иллюстрации, случаем малых частот, и сильных полей, удовлетворяющих условию где — параметр (22,13). В силу последнего условия, функция дается выражением (22.18). Вычисление интеграла в первом члене в (23,22) дает

Во втором члене в (23,22) ограничимся буквенной оценкой. Из уравнения (23,20) (без члена ) находим оценку

Интеграл оценивается затем как

В результате находим для коррелятора тока выражение

где - численная постоянная.