§ 82. Кинетические коэффициенты металла. Низкие температуры

В количественном исследовании кинетических явлений при низких температурах мы будем иметь в виду случай открытых ферми-поверхностей, соответственно чему не будем специально заботиться о процессах переброса.

Прежде всего покажем, что релаксация в фононной системе осуществляется (при ) в основном за счет фонон-электронных, а не фонон-фононных столкновений.

Для оценки фонон-электронного интеграла столкновений (79,10) замечаем, что при низких температурах и поэтому . Интегрирование по производится по объему слоя толщины вдоль ферми-поверхности. Ввиду малости аргумент -функции можно представить в виде

-функция устраняется интегрированием по направлениям (или, что то же, по направлениям ) при заданном к, что вносит в подынтегральное выражение множитель Наконец, w оценивается по формуле (79,18). В результате найдем

т. е. эффективная частота столкновений

Эффективная же частота фонон-фононных столкновений при низких температурах, согласно оценке (69,15):

что и доказывает сделанное утверждение.

Ниже мы будем пренебрегать фонон-фононными столкновениями. Тогда кинетическое уравнение для фононов имеет вид

Это уравнение может быть решено в явном виде относительно фононной функции Поскольку к в этом уравнении заданная величина, то функция может быть вынесена из содержащего ее интеграла и получается

Легко видеть, что Действительно, из определения функции видно, что (интегралы в числителе и знаменателе отличаются только множителем в подынтегральном выражении). Порядок же величины функции определяется кинетическим уравнением для электронов:

откуда

Эффективная же частота электрон-фононных столкновений оценивается так же, как это было сделано выше для разница состоит лишь в том, что интегрирование по в интеграле производится по объему импульсного пространства (вместо объема при интегрировании по в интеграле ):

Наконец, заметив, что , находим

что и требовалось доказать.

При вычислении электро- и теплопроводности (но не термоэлектрического коэффициента — см. ниже) можно пренебречь малой величиной Подставив затем выражение из (82,5) в электрон-фононный линеаризованный интеграл столкновений (представленный в виде (79,11)), получим

где обозначает результат подстановки в интеграл Первый член в (82,9) есть интеграл столкновений электронов с равновесными фононами, а второй можно назвать интегралом столкновений между электронами через посредство фононов.

Введем (как это уже делалось в § 79) в качестве независимых переменных в функции величину и вектор проведенный в направлении и оканчивающийся на ферми-поверхности. Оба члена в (82,9) содержат в своих подынтегральных выражениях разность

(82,10)

причем

где х — проекция вектора к на плоскость, касательную к ферми-поверхности в точке .

По переменной функция существенно меняется на интервалах разность же . В этом смысле зависимость от переменной является медленной, и в первом приближении можно положить в разности т. е. заменить ее на

(82,11)

Зависимость же от переменной является сильной в том смысле, что разность совпадает, по порядку величины, с тем интервалом, на котором функция существенно меняется.

Обозначим оператор, получающийся из заменой (82,10) на (82,11), через тогда представится в виде

причем Кинетическое уравнение для электронов (при наличии как электрического поля, так и градиента температуры) имеет вид

Два члена в правой стороне имеют существенно различный физический смысл: первый ответствен за быструю релаксацию по энергии, а второй за медленную, «диффузионную», релаксацию по направлениям квазиимпульса.

Отметим два очевидных свойства оператора Во-первых, он обращается в нуль для всякой функции, зависящей только от (так как обращается в нуль разность (82,11)). Во-вторых, обращается в нуль интеграл

(82,13)

оператор LB описывает столкновения с изменением только энергии, и равенство (82,13) означает просто сохранение числа электронов с заданным направлением .

Будем искать решение кинетического уравнения в виде

(82,14)

где - функция только от причем Тот факт, что функция (обращающая в нуль часть интеграла столкновений) велика, выражает собой быстроту процесса релаксации по энергиям. Подставив (82,14) в (82,12) и пренебрегая относительно малым членом , получим уравнение

(82,15)

Оба члена в его правой стороне, вообще говоря, одинакового порядка величины. Но при вычислении коэффициентов электро- или теплопроводности существен каждый раз лишь один из этих членов.

В этом легко убедиться, вспомнив, что линеаризованный электрон-фононный оператор (а с ним и операторы ) при воздействии на функцию не меняет ее четности по переменной Имея это в виду, разделим функцию начетную и нечетную по части:

(независящая от ) функция а по определению четна). Подставив в (82,15) и отделив нечетные и четные по члены уравнения, получим два уравнения:

(82,16)

в левой стороне уравнений скорость v заменена, с достаточной точностью, независящей от скоростью на ферми-поверхности. Второе из этих уравнений проинтегрируем еще по ; ввиду свойства (82,13) член с в результате выпадает и остается

(82,18)

Тепловой поток (при Е = 0) целиком определяется решением уравнения (82,16), содержащего только оператор — как и следовало ожидать, он зависит от процессов релаксации по энергиям электронов.

По решению уравнения (82,16) тепловой поток вычисляется как интеграл

(82,19)

четная по часть функции не дает вклада в интеграл ввиду нечетности получающегося под интегралом выражения.

Оператор - основная часть электрон-фононного интеграла столкновений. Отвечающая ему эффективная частота столкновений есть поэтому из (82,7); об этой величине надо, точнее, говорить как об эффективной частоте столкновений по отношению к обмену энергией. Соответствующая длина пробега электронов есть Коэффициент же теплопроводности можно оценить по газокинетической формуле (7,10): . В данном случае -плотность числа электронов, с — электронная часть теплоемкости (отнесенная к одному электрону проводимости), Величины N и от температуры не зависят, теплоемкость электронной ферми-жидкости пропорциональна Т, а согласно (82,7) длина пробега Поскольку вычисленный таким образом тепловой поток относится к коэффициент в нем есть не сам коэффициент теплопроводности , а сумма (см. ). Таким образом, . Член однако, оказывается малым по сравнению с (см. ниже примечание на стр. 417); поэтому и Положив для грубой оценки

(обычные единицы; ср. IX, (1, 15)), получим

(82,2°)

Электропроводность определяется решением уравнения (82,18), содержащего только оператор - как и следовало ожидать, электрический ток зависит от процессов релаксации по направлениям квазиимпульсов электронов. В начале § 81 было отмечено, что эти процессы имеют характер диффузии вдоль ферми-поверхности. В следующем параграфе будет показано, каким образом кинетическое уравнение (82,18) может быть действительно приведено к виду уравнения диффузии. Закон же температурной зависимости электропроводности может быть выяснен уже путем следующих простых рассуждений.

Перемещение вдоль ферми-поверхности происходит малыми скачками на расстояния эта величина играет роль «длины свободного пробега» в импульсном пространстве частота же «актов рассеяния» совпадает с частотой электрон-фононных столкновений

Коэффициент диффузии вдоль ферми-поверхности можно оценить по газокинетической формуле написав в ней в качестве I и v. Таким образом, получим (обычные единицы)

(82,21)

Отсюда можно найти время релаксации, которое должно фигурировать в оценке электропроводности согласно (78,16): о Это время, за которое квазиимпульс электрона меняется на величину порядка его самого. Другими словами, за время электрон должен продиффундировать вдоль ферми-поверхности на расстояние Но при диффузионном перемещении средний квадрат смещения пропорционален времени (и коэффициенту диффузии). Отсюда находим соотношение и затем для проводимости (обычные единицы):

Таким образом, при низких температурах проводимость пропорциональна ).

Остановимся на вопросе о термоэлектрическом коэффициенте. Ситуация здесь аналогична той, которая имеет место при высоких температурах.

Если вычислить ток j по функции — решению уравнения (82,16), то ввиду нечетности этой функции по переменной интеграл обращается в первом приближении в нуль, а отличный от нуля результат получается лишь с учетом следующего по члена разложения подынтегрального выражения. Это приводит (как и при ) к значению термоэлектрического коэффициента (обычные единицы)

(82,23)

вместо «нормального» порядка величины

Другой вклад в термоэлектрический коэффициент возникнет от отброшенного в (82,5) члена в фононной функции этот вклад связан с эффектом увлечения электронов фононами. Если сохранить этот член, то в интеграле столкновений (82,9) добавится член

(82,24)

Этот член можно перенести затем в левую сторону кинетического уравнения (82,12), где его следует сравнивать с членом

(82,25)

Член (82,24) мал по сравнению с (82,25) в отношении (оценка, аналогичная (82,8)). Но учет этого члена приводит к появлению в решении кинетического уравнения слагаемого (пропорционального ), которое не будет уже нечетным по . Поэтому при вычислении соответствующего вклада в ток никаких дополнительных малостей не возникает и в термоэлектрическом коэффициенте появляется слагаемое

(82,26)

[Л. Э. Гуревич, 1946).

По мере понижения температуры частота электрон-фононных столкновений уменьшается и в конце концов главная роль в создании электро- и теплосопротивления переходит к столкновениям электронов с примесными атомами. Отметим, что ввиду различной температурной зависимости переход к «остаточному теплосопротивлению» происходит позже, чем переход к остаточному электрическому сопротивлению.

В очень чистых металлах может существовать область температур, в которой кинетические свойства металла определяются электрон-электронными столкновениями. Соответствующая длина свободного пробега в электронной жидкости в металле, как и во всякой другой ферми-жидкости, зависит от температуры как причем малым параметром разложения является отношение (см. § 75). При этот пробег должен был бы стать , так что

(82,27)

Отсюда следует закон температурной зависимости электро- и теплопроводности

(82,28)

(Л. Д. Ландау, И. Я. Померанчук, 1936).

При понижении температуры эффективная частота электрон-электронных столкновений убывает медленнее, чем частота электрон-фононных столкновений . Но поскольку малым параметром в является , а не как в электрон-электронные столкновения могут стать определяющими лишь при очень низких температурах.

Отметим также, что законы (82,28) могут в принципе относиться к случаям как открытых, так и закрытых ферми-поверхностей. Поскольку квазиимпульсы электронов велики, то необходимость в существовании процессов переброса не является, вообще говоря, в случае закрытых ферми-поверхностей источником какой-либо дополнительной малости.