§ 90. Квантовые осцилляции проводимости металла в магнитном поле

Изложенная в §§ 84, 85 теория гальваномагнитных явлений имела квазиклассический характер в том смысле, что квантовость проявлялась только в виде функции распределения электронов, дискретность же уровней энергии в магнитном поле не учитывалась. Эта дискретность приводит, однако, к качественно новому явлению осцилляциям проводимости как функции магнитного поля (так называемый эффект Шубникова — де Гааза). Этот эффект аналогичен осцилляциям магнитного момента (эффект де Гааза — ван Альфена), но его теория сложнее ввиду кинетического, а не термодинамического характера явления. Мы рассмотрим ее в рамках модели невзаимодействующих электронов, оставляя в стороне вопрос (по-видимому, еще не исследованный) о влиянии ферми-жидкостных эффектов.

Как и в § 84, магнитное поле будем считать сильным в смысле условия (84,1), которое запишем в виде

где — время свободного пробега электронов, а

— ларморовская частота; - циклотронная масса электронов.

В то же время, конечно, поле не должно быть настолько сильным, чтобы нарушилось условие квазиклассичности

Соотношение же между и Т может быть произвольным.

Мы ограничимся исследованием квантовых осцилляций поперечной (по отношению к магнитному полю оси ) проводимости, предполагая при этом, для упрощения записи формул, симметрию кристалла кубической. В таком кристалле симметричная (диссипативная) часть тензора проводимости имеет лишь компоненты Сравнительная простота задачи для поперечных компонент связана с тем, что для них влияние столкновений может рассматриваться (как мы видели в § 84) как малое возмущение по сравнению с влиянием магнитного поля; для продольной проводимости это не так.

Как и в § 84, рассматриваем металл в области его остаточного сопротивления, так что речь идет о столкновениях электронов с примесными атомами. Ввиду упругости этих столкновений, электроны различных энергий участвуют в образовании электрического тока независимо друг от друга.

Пусть — число квантовых состояний электрона, отнесенное к единичному интервалу энергий. Тогда пространственная плотность числа электронов с энергией в интервале есть , где — числа заполнения состояний. Обозначим посредством плотность создаваемого этими электронами поперечного тока. При наличии как электрического поля, так и градиента плотности электронов, плотность тока изобразится суммой

Первый член представляет собой диффузионный перенос заряда; — коэффициент диффузии (в реальном пространстве!) электронов с энергией .

Ток (90,4) должен обращаться в нуль для распределения

отвечающего статистическому равновесию электронного газа в слабом постоянном электрическом поле с потенциалом распределение Ферми).

Отсюда находим соотношение, связывающее :

Полная же электропроводность, учитывающая вклад от электронов всех энергий, есть

В последней записи суммирование производится по всем квантовым состояниям электрона; s условно обозначает совокупность квантовых чисел состояний. Эта формула сводит задачу о вычислении проводимости к вычислению коэффициента диффузии электронов в отсутствие электрического поля.

В свою очередь коэффициент диффузии выражается через характеристики микроскопических актов рассеяния формулой типа (21,4):

где суммирование производится по столкновениям, испытываемым электроном в течение времени , а — изменение среднего значения - координаты электрона при столкновении (напомним, что движение электрона в плоскости, перпендикулярной полю, финитно; в наглядной картине квазиклассических орбит — смещение центра орбиты). Обозначим посредством

вероятность перехода электрона из состояния s в состояние s при рассеянии; -функция выражает собой упругость рассеяния, а множитель (плотность примесных атомов) — независимость рассеяния на хаотически расположенных атомах. Тогда коэффициент диффузии представится формулой

где — среднее значение координаты в состоянии. Подставив это выражение в (90,5), получим для проводимости:

(S. Titeica, 1935; Б. И. Давыдов, И. Я. Померанчук, 1939).

При фактическом применении этой формулы надо расшифровать смысл обозначения s. Дискретное квантование уровней энергии электрона проводимости в магнитном поле возникает при замкнутых квазиклассических траекториях в -пространстве (т. е. замкнутых сечениях изоэнергетических поверхностей), что и будет подразумеваться ниже. При этом квантовые состояния определяются четырьмя числами:

где — целое положительное (большое) число; число задает значение проекции спина электррна, а — компоненты обобщенного квазиимпульса Подразумевается, что векторный потенциал магнитного поля выбран в калибровке ввиду цикличности координат , компоненты обобщенного импульса сохраняются (см. IX, § 58). Уровни же энергии зависят только от трех из этих квантовых чисел: Они даются выражением

причем функция — решение уравнения

Во втором члене в — магнетон Бора, а множитель характеризует изменение магнитного момента электрона в результате спин-орбитального взаимодействия в решетке.

Рассматривавшийся в § 84, 85 тензор проводимости есть в действительности результат усреднения точных функций по малым квантовым осцилляциям. В частности, согласно (85,3), усредненная таким образом поперечная проводимость Покажем, прежде всего, как этот результат получается из формулы (90,6), и выясним при этом связь между фигурирующими в этой формуле величинами и функцией в квазиклассическом интеграле столкновений электронов с примесями (78,14).

В § 84 было уже отмечено, что условие квазиклассичности движения электрона обеспечивает в то же время независимость процесса рассеяния от магнитного поля. Вероятность рассеяния в отсутствие поля с изменением квазиимпульса от была представлена в интеграле столкновений (78,14) в виде

(90.10)

Чтобы написать это выражение в форме, пригодной и для рассеяния в магнитном поле, достаточно преобразовать его к переменным, сохраняющим свой смысл для движения в поле:

(производная тоже подразумевается выраженной через новые переменные). Координата у при движении по квазиклассической траектории связана с обобщенным квазиимпульсом соотношением поэтому среднее (по траектории) значение

(90,12)

Усредненная по осцилляциям проводимость получится по формуле (90,6) заменой в ней суммирования по дискретной переменной s интегрированием по непрерывной переменной . Введя для краткости обозначение

(90,13)

получим

(множитель двух направлений спина электрона; вероятность рассеяния предполагается не зависящей от спина, так что его проекция не меняется). Интегрирование по устраняет -функцию. При интегрировании же по можно считать медленно меняющийся множитель а постоянным (взяв его значение при ) и интегрировать лишь производную . В результате получим

Перейдем теперь к учету дискретности уровней. Это значит, что вместо интегрирования в (90,14) по непрерывной переменной (при заданных ) надо писать суммирование по , заменив

где

как это ясно из (90,9) и определения циклотронной массы .

Используя введенные выше обозначения, пишем

(90,16)

(отметим, что ввиду интегрирования по обеим переменным функцию а можно считать симметричной по ним).

Осциллирующая часть этого выражения, выделяется с помощью формулы суммирования Пуассона (ср. IX, § 63)

(90,17)

и возникает от стоящей здесь суммы по усредненное же возникает от первого, интегрального, члена.

Мы будем считать, что амплитуда осцилляций мала по сравнению с усредненной (тем самым налагается определенное условие на величину магнитного поля — см. ниже (90,26)). Тогда достаточно учесть осциллирующую часть каждый раз лишь в одной из сумм (по и по ) в (90,16). С учетом симметрии а по и введя обозначение b по аналогии с определением в (90,15), имеем

где - осциллирующая часть интеграла 00

Введя в качестве переменной интегрирования вместо функцию из (90,8), интегрируем по по частям (причем медленно меняющийся множитель b можно считать постоянным). Проинтегрированный член не приводит к осцилляционной зависимости от поля (и представляет собой лишь малую поправку к опустив его, получим

(90,19)

Здесь и введена функция

(ср. (90,9)); в аргументе функции пренебрежено членом по сравнению с большим .

Интегрирование по в (90,19) производится в точности так, как в интеграле IX, (63,8), при исследовании эффекта де Гааза — ван Альфена. Интеграл определяется областями вблизи точек в которых (т. е. площадь сечения S) как функция имеет экстремумы. В результате получим

где

а знаки или — в экспоненте относятся соответственно к случаям, когда является точкой максимума или минимума функции суммирование производится по всем экстремальным точкам.

В свою очередь интеграл (90,21) вполне аналогичен интегралу IX, (63,9), отличаясь от него лишь медленно меняющимися множителями b и в подынтегральном выражении; эти множители (как и множитель быть заменены их значениями при т. е. на ферми-поверхности. После этого интегрирование по и суммирование по о приводит к окончательному результату

причем берутся при на ферми-поверхности

Если при заданном направлении В имеется всего одно экстремальное сечение ферми-поверхности, то существует пропорциональность между осциллирующими частями проводимости а и продольной магнитной восприимчивости.

Сравнив (90,22) с формулой IX, (63,13), найдем

Изложенные вычисления предполагают малость амплитуды осцилляций проводимости по сравнению с ее усредненным значением. Более того, это требование по существу является условием применимости всей изложенной в § 84, 85 теории: ясно, что усредненные значения имеют реальный смысл, лишь если они являются главной частью тензора проводимости.

При амплитуда осцилляций определяется первыми членами суммы в (90,22), в которых Согласно определению в (90,15), величина оценивается как Производная же Отсюда находим следующую оценку амплитуды осцилляций:

(90,24)

Это отношение мало уже в силу обязательного условия (90,3).

Если же Т то оценка меняется. В этом случае плитуда осцилляций определяется суммой большого числа членов в (90,22), в которых Число таких членов порядка величины того же I. По сравнению с предыдущей оценкой здесь появляется дополнительный множитель так что

Требование малости этого отношения приводит к условию

(90,26)