ГЛАВА X. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ СИСТЕМ

§ 91. Мацубаровская восприимчивость

Исследование поведения различных систем в слабом переменном внешнем поле сводится обычно к вычислению соответствующих обобщенных восприимчивостей. В этом параграфе будут выведены формулы, связывающие обобщенную восприимчивость с некоторой вспомогательной величиной, которую можно вычислять с помощью мацубаровской диаграммной техники; тем самым открывается путь для использования этой техники при исследовании кинетических свойств систем (А. А. Абрикосов, И. Е. Дзялошинский, Л. П. Горьков, 1962).

Напомним определение обобщенной восприимчивости (см. V, § 123). Пусть внешнее воздействие на систему описывается введением в ее гамильтониан возмущающего оператора вида

где — шредингеровский (независящий от времени) оператор некоторой физической величины, характеризующей систему, а возмущающая обобщенная сила есть заданная функция времени; предполагается, что в отсутствие внешнего воздействия среднее значение величины равно нулю. Тогда в первом по f приближении имеется линейная связь между фурье-компонентами среднего значения и силой обобщенная восприимчивость есть коэффициент в этом соотношении:

Согласно формуле Кубо (см. V, § 126), функция а может быть представлена в операторном виде как

где — гейзенберговский оператор, определенный по невозмущенному гамильтониану системы (о чем напоминает индекс 0), а усреднение производится по заданному невозмущенному стационарному состоянию системы, или по распределению Гиббса с невозмущенным гамильтонианом.

Рассмотрим теперь, чисто формальным образом, систему, подчиняющуюся «мацубаровским», уравнениям движения, отличающимся от реальных уравнений заменой времени новая переменная пробегает значения в конечном интервале

Пусть на эту систему налагается возмущение

Функцией переменной будет тогда и среднее значение Разложим функцию в ряд Фурье на интервале (91,4):

и аналогичным образом—функцию . Мацубаровской восприимчивостью назовем коэффициент пропорциональности между компонентами обоих разложений:

Наша цель состоит теперь, с одной стороны, в получении для формулы, аналогичной (91,3), и, с другой стороны, в нахождении связи между и интересующей нас функцией . Начнем с первой части задачи.

Пусть Н — невозмущенный гамильтониан системы. «Точный» мацубаровский оператор величины х вычисляется по формуле

где

а индексом 0 отмечены операторы в мацубаровском «представлении взаимодействия»:

(91,10)

и аналогично для .

В первом порядке теории возмущений выражение (91,9) сводится к

(91,11)

Вычислим усредненное по распределению Гиббса значение

Согласно формуле IX, (38,6), имеем

а согласно (91,8) и (91,11),

Подставив эти выражения в (91,12), получим с той же точностью: -

В первом интеграле переменная а во втором делим область интегрирования на интервалы от 0 до и от до После сокращений и подстановки из (91,5) видим, что результат может быть записан в виде

(91,13)

(напомним, что оператор хронологизации по переменной х расставляет множители, без изменения знака произведения, в порядке возрастания справа налево); усреднение в (91,13) производится по распределению Гиббса с гамильтонианом На. Результат усреднения зависит только от разности . Наконец, представив в виде фурье-разложения (91,6), получим окончательно искомую формулу для мацубаровской восприимчивости:

(91,14)

Мы видим, что выражается через фурье-компоненту мацубаровской гриновской функции, построенной по операторам х (ср. определение IX, (37,2)). Обратим внимание на отличие от формулы (91,3) для , в которой стоит запаздывающий (по времени t) коммутатор, а не хронологизированное произведение.

Для решения второй части поставленной задачи нахождения связи между функциями а — надо, исходя из формул (91,3) и (91,14), выразить эти функции через матричные элементы оператора Мы не будем йроводить здесь соответствующие вычисления, поскольку они практически совпадают с вычислениями, проводившимися уже по другим аналогичным поводам (ср. V, § 126; IX, §§ 36, 37). Ограничимся указанием результата:

(91,15)

Здесь — матричные элементы шредингеровского оператора по отношению к стационарным состояниям системы; . Сравнение обоих выражений показывает, что

(91,17)

Поскольку обобщенная восприимчивость а вещественна на верхней мнимой полуоси , то функция вещественна при . С другой стороны, из (91,16) видно, что Таким образом, является четной вещественной функцией и выражается через а формулой

(91,18)

Соотношение (98,18) устанавливает искомую связь. Для определения а надо построить функцию, аналитическую в верхней полуплоскости переменной , значения которой в дискретных точках на верхней мнимой полуоси совпадают с это и будет искомая обобщенная восприимчивость.

Описанный метод будет применен в следующей главе к кинетическим свойствам сверхпроводников.

Покажем в заключение, что знание а позволяет определить закон релаксации величины к ее равновесному значению Для этого будем считать, что начальное неравновесное значение создается обобщенной силой действующей при а затем выключенной.

Значение в некоторый момент времени t определяется значениями в течение всего предшествующего времени формулой вида

причем функция связана с обобщенной восприимчивостью обратным преобразованием Фурье

(ср. V, § 123). Если при , то

Поведение при больших f определяется асимптотическим поведением при . В свою очередь последнее определяется ближайшей к вещественной оси особой точкой функции в нижней полуплоскости. В частности, релаксации по простому экспоненциальному закону со временем релаксации соответствует наличие у простого полюса при