Задачи

1. В борновском случае с улучшенной логарифмической точностью вычислить мнимую часть диэлектрической проницаемости однозарядной равновесной плазмы для частот

Решение. При вычислении при условии «в v надо учитывать только -столкновения (как это было объяснено в связи с выводом (44,8)). Поскольку интеграл столкновений (46,7) отличается от обычного интеграла Больцмана только множителем перед , искомое может вычисляться по той же формуле (44,8):

где или означают усреднение по равновесному распределению скоростей электронов или ионов Отличие от произведенных в § 44 вычислений будет состоять лишь в том, что определяется теперь как

и в необходимости усреднения а по скоростям ионов (которыми в этом месте пренебречь, конечно, нельзя); в аргументе функции скорость центра инерции электрона и иона приближенно заменена скоростью иона.

Резерфордовское сечение записываем в виде

где

( - импульс электрона).

Функция определяется формулой (31,11) и складывается из электронной и ионной частей. Поскольку ее аргумент в то электронную часть можно взять при тогда

( проекция на q; учтено, что при ).

Подставив (3) и (4) в (2), после очевидных замен переменных получаем

. Интегрирование по выполняется элементарно, а при подстановке пределов надо учесть, что , и отбросить все члены и выше. В результате получается

где

(учтено, что — четная, — нечетная функции ); численное вычисление дает

Усреднение в (1) производится с помощью формул

(С — постоянная Эйлера). Окончательно находим

(В. И. Перель, Г. М. Элиашберг, 1961).

2. То же в квазиклассическом случае.

Решение. Согласно (46,23), выражение для, в квазиклассическом случае получается вычитанием из логарифма в (5):

Для получается формула (6) с логарифмом

вместо

3. С улучшенной логарифмической точностью определить скорость передачи энергии от электронов к ионам однозарядной плазмы, считая разность температур электронов и ионов малой ).

Решение. Ввиду малости отношения (а тем самым малости передачи энергии в каждом акте), заранее ясно, что уравнение для функции распределения электронов сводится к уравнению типа Фоккера—Планка. Оно имеет вид (см. § 21)

Умножим это уравнение на и проинтегрируем по После интегрирования по частям получаем для скорости изменения энергии электронов:

Считая функцию распределения электронов максвелловской, а разность температур малой, находим

Коэффициент В, как и в (21,11), выражается через средний квадрат изменения импульса электрона при столкновении с ионом:

Величину же находим из равенства (46,5):

Подставляя в (10), а затем в (9) и используя связь q с углом рассеяния из задачи 1, получаем

Формула (11) вполне аналогична формуле (1) задачи 1, и дальнейшие вычисления поэтому практически те же самые. В борновском случае имеем

где — интеграл, отличающийся от А задачи 1 дополнительным множителем под знаком интеграла (численный расчет дает Усреднение по скоростям электронов производится, как в задаче 1. Окончательно

где

Аналогично в квазиклассическом случае получаем формулу вида (12), но с заменой на

Формулы (12)-(13) уточняют результаты § 42, определяя (для случая малой разности температур) численный множитель под знаком логарифма в (42,6).