§ 37. Квазинейтральная плазма

Уравнения динамики плазмы допускают далеко идущее упрощение для категории явлений, в которых характерные масштабы длин и времени удовлетворяют следующим условиям. Характерный размер неоднородностей в плазме L предполагается большим по сравнению с электронным дебаевским радиусом:

Скорость же процесса предполагается определяющейся движением ионов, так что характерный масштаб скорости дается величиной малой по сравнению со скоростями электронов. Движение ионов приводит к медленному изменению электрического потенциала, за которым адиабатически следует распределение электронов.

Пусть и — изменения плотностей электронов и ионов в возмущенной плазме. Эти изменения создают в плазме среднюю плотность некомпенсированного заряда:

Потенциал создаваемого этими зарядами электрического поля определяется уравнением Пуассона

По порядку величины Поэтому

Если поле слабо то изменение электронной плотности

(ср. (36,11)) и тогда

Это неравенство остается справедливым и в случае сильного возмущения, когда при этом и из (37,3) снова следует (37,4).

Таким образом, возникающая при возмущении некомпенсированная плотность зарядов оказывается малой по сравнению с возмущениями плотностей зарядов электронов и ионов в отдельности; в таких случаях говорят о квазинейтральной плазме. Это свойство позволяет при изучении рассматриваемого круга явлений определять распределение потенциала в плазме, просто исходя из «уравнения квазинейтральности»

совместно с кинетическим уравнением для ионов и с уравнением, выражающим «адиабатическое» распределение электронов.

Разумеется, в начальный момент времени если рассматривается задача с начальными условиями плотности электронов могут быть заданы произвольно и не обязательно удовлетворяют неравенству (37,4). Возникающее при этом большое электрическое поле приведет, однако, к движению электронов, которое бистро, за характерные «электронные» времена, восстановит квазинейтральность (в диффузионном случае этот процесс прослежен в § 25).

Переход от электродинамического уравнения (37,2) к условию (37,5) означает не только существенное упрощение системы уравнений динамики плазмы, но и принципиальное изменение их размерностной структуры.

Действительно, потенциал входит в кинетическое уравнение и в распределение электронов только в произведении с зарядом , а в условие (37,5) (в противоположность уравнению (37,2)) заряд вообще не входит. Поэтому заменой

заряд вообще устраняется из уравнений, а вместе с ним исчезает также и параметр размерности длины — дебаевский радиус .

Отсутствие в уравнениях параметра длины делает возможными автомодельные движения плазмы. Такие решения появляются в тех случаях, когда параметры размерности длины отсутствуют также и в начальных или граничных условиях задачи; тогда все функции могут зависеть от координат и времени только в комбинации . Пусть, например, плазма первоначально занимает полупространство . В момент времени «убирается заслонка» и плазма начинает расширяться в пустоту. Сначала начинают двигаться электроны, так что электронная плотность образует вблизи границы переходный слой с характерной шириной . За время электронное движение затухает и далее электронная плотность следует адиабатически за потенциалом согласно формуле Больцмана. Теперь изменение всех величин определяется движением ионов. Благодаря этому за время граница размывается на расстояниях, больших по сравнению с . К этому времени плазма становится квазинейтральной, а движение автомодельным.

Напишем уравнения динамики квазинейтральной плазмы в раскрытом виде, предположив для определенности, что распределение электронной плотности везде больцмановское:

как было показано в § 36, это распределение не нарушается медленно меняющимся полем, если поле не содержит потенциальных ям. Формула (37,7) совместно с условием (37,5) позволяет прямо выразить потенциал через функцию распределения ионов:

Подставив же это выражение в кинетическое уравнение для ионов (с самосогласованным полем получим

Отметим, что, несмотря на нелинейность этого уравнения, его решения не зависят от средней плотности плазмы: если есть решение, то решением будет и с произвольным постоянным множителем С.

Упомянем, что в одномерном случае уравнение (37,9) имеет класс решений, характерных тем, что в них функция зависит от координаты и времени t только через посредство некоторой функции :

(37,10)

Эти решения в известном смысле аналогичны простым волнам обычной гидродинамики.