§ 57. Влияние теплового движения на распространение электромагнитных волн в магнитоактивной плазме

При учете теплового движения частиц дисперсионное уравнение становится, вообще говоря, трансцендентным и приводит к бесчисленному множеству ветвей функции со (к). Подавляющее большинство этих колебаний, однако, сильно затухает. Лишь в исключительных случаях затухание оказывается слабым и колебания могут распространяться в виде волн. К этим случаям относятся, прежде всего, рассмотренные в предыдущем параграфе волны, для которых тепловое движение приводит (при соблюдении условий (52,17) и (53,17)) лишь к малым поправкам в законе дисперсии и к малому коэффициенту затухания Ландау.

Мы видели, однако, что для волн в холодной плазме существуют области частот, в которых отношение становится сколь угодно большим (окрестности плазменных резонансов). Но при условия (52,17) заведомо нарушаются, так что учет теплового движения становится необходимым. Покажем теперь, что учет теплового движения уже как малой поправки в диэлектрической проницаемости устраняет расходимость корней дисперсионного уравнения и приводит к некоторым качественно новым свойствам спектра колебаний плазмы (Б. Н. Гершман, 1956). При этом, как мы увидим, все еще могут быть выполнены условия, обеспечивающие экспоненциальную малость затухания Ландау, так что антиэрмитовой частью можно по-прежнему пренебречь. Будем для определенности говорить об окрестности высокочастотных плазменных резонансов, где достаточно учесть тепловое движение лишь электронов.

Поправочные члены в пропорциональны Такие же поправки возникнут и в коэффициентах А, В, С дисперсионного уравнения (56,5). Имея в виду исследовать лишь расходящийся корень этого уравнения, достаточно учесть поправочные члены только в коэффициенте А, обращающемся (без поправок) в точке резонанса в нуль.

Представим этот коэффициент в окрестности резонансной частоты (пусть это будет в виде

Второй член представляет собой поправку от теплового движения. Коэффициенты берутся в точке так что от переменной (о уже не зависят (но зависят, конечно, от направления к, т. е. от угла ). Положив также и в коэффициентах В и С (и обозначив эти их значения посредством ), получим дисперсионное уравнение в окрестности резонансной частоты в виде

Нас интересует тот корень этого уравнения, который при переходит в

т. е.

Поскольку в этом решении велико, то для его отыскания следует опустить в (57,2) не содержащий этой большой величины член Тогда получим следующий закон дисперсии:

Здесь надо различать два случая в зависимости от знака (величины же всегда положительны).

На рис. 20 сплошной линией изображен закон дисперсии (57,4) при Кривая пересекает ось абсцисс в точке

При эта точка уходит вправо на бесконечность и мы возвращаемся к кривой, отвечающей закону дисперсии (57,3) для холодной плазмы (пунктирная линия на рис. 20).

Рис. 20.

Рис. 21.

Обратим внимание на то, что учет теплового движения приводит, таким образом, к продлению ветви спектра колебаний в область В пределе равного нулю внешнего поля именно эта часть ветви отвечает обычным продольным плазменным колебаниям: в отсутствие поля коэффициент частота со совпадает с Q, и вся кривая зависимости от сводится к выходящей из начала координат прямой, уравнение которой совпадает с (32,5).

В пренебрежении тепловым движением колебания в плазменных резонансах продольны. Подчеркнем, что при учете пространственной дисперсии это свойство, строго говоря, исчезает: величина становится зависящей от k, и равенство (условие продольности колебаний) делается несовместимым со связью между теми же переменными , даваемой дисперсионным уравнением. Как в самих точках плазменных резонансов (вообще теряющих свою выделенность), так и в их окрестностях волны остаются, однако, почти продольными: ввиду малости А и медленности волны (малости ), поперечная компонента мала (согласно ) по сравнению с

Обратимся к случаю Характер зависимости от k для этого случая изображен на рис. 21. Кривая не выходит в область загибаясь обратно в точке максимума с координатами

При эта точка уходит вправо на бесконечность, одновременно приближаясь к оси ординат, и мы снова возвращаемся к кривой закона (57,3).

В качестве еще одного примера рассмотрим поперечные волны вблизи электронного циклотронного резонанса, распространяющиеся вдоль магнитного поля. В пренебрежении тепловым движением закон дисперсии этих волн дается формулой (56,9) (с нижними знаками), причем в окрестности точки

(при этом ), весь этот спектр лежит при

Для исследования этих волн с учетом теплового движения электронов надо составить, дисперсионное уравнение с тензором диэлектрических проницаемостей (55,7), как раз относящимся к области циклотронного резонанса. Раскрыв определитель (56,4) (с вектором к, направленным вдоль оси ), получим

Вне линии резонансного поглощения, т. е. при (но, конечно, по-прежнему ), это соотношение принимает вид

Отсюда снова получается закон дисперсии (57,7) для вещественной части частоты и выражение

для коэффициента затухания Ландау.

При дальнейшем приближении к , в области коэффициент затухания растет, становясь сравнимым с самой частотой ; в этой области уже нельзя говорить о распространении волн.