§ 24. Рекомбинация и ионизация

Установление равновесной степени ионизации в частично ионизованном газе осуществляется путем различных элементарных актов столкновительной ионизации и обратной рекомбинации сталкивающихся заряженных частиц.

В простейшем случае, когда в газе имеется (помимо электронов) лишь один сорт ионов, процесс установления ионизационного равновесия описывается уравнением вида

Здесь Р — число электронов, образующихся в 1 с в 1 см3 (при столкновениях нейтральных атомов или путем ионизации атомов фотонами); это число не зависит от наличных плотностей электронов и ионов . Второй же член дает убыль числа электронов благодаря их рекомбинации с ионами; величину а называют коэффициентом рекомбинации.

Процесс рекомбинации обычно весьма медлен по сравнению с остальными процессами установления равновесия в плазме. Дело в том, что образование нейтрального атома при столкновении иона с электроном требует уноса освобождающейся энергии (энергии связи электрона в атоме). Эта энергия может излучиться в виде фотона (радиационная рекомбинация); в таком случае медленность процесса связана с малостью квантовоэлектродинамической вероятности излучения. Освобождающаяся энергия может быть также передана третьей частице нейтральному атому; в этом случае медленность процесса связана с малой вероятностью тройных столкновений. Все это приводит к тому, что рекомбинацию часто имеет смысл изучать в условиях, когда распределение всех частиц можно считать максвелловским.

В равновесии производная обращается в нуль. Отсюда следует, что величины в (24,1) связаны друг с другом соотношением —

где — равновесные плотности электронов и ионов, определяющиеся соответствующими термодинамическими формулами (см. V, § 104).

Коэффициент радиационной рекомбинации вычисляется непосредственно по сечению рекомбинации сгрек при столкновении электрона с неподвижным ионом (скоростью иона можно пренебречь по сравнению со скоростью электрона):

где усреднение производится по максвелловскому распределению скоростей электрона (см. задачу 1).

Радиационная рекомбинация существенна, однако, лишь в достаточно разреженном газе, когда тройными столкновениями частиц можно вовсе пренебречь.

В менее разреженном газе основным механизмом является рекомбинация с участием третьей частицы — нейтрального атома. Именно этот механизм мы и рассмотрим теперь подробнее.

При столкновении с атомами энергия электрона изменяется малыми порциями. Поэтому процесс рекомбинации начинается с образования сильно возбужденного атома, а при дальнейших столкновениях этого атома происходит постепенное «опускание» электрона на все более низкие уровни. Такой характер процесса позволяет рассматривать его как «диффузию по энергии» захваченного электрона и соответственно применить к нему уравнение Фоккера—Планка (Л. П. Питаевский, 1962).

Введем функцию распределения захваченных электронов по их (отрицательным) энергиям е. Основную роль будет, естественно, играть, «диффузия» по области энергий . Напомним в этой связи, что температуру надо во всяком случае считать здесь малой по сравнению с ионизационным потенциалом атомов при газ был бы уже практически полностью ионизованным (ср. V, § 104).

Уравнение Фоккера — Планка:

Как обычно, коэффициент А можно выразить через В из условия s = 0 при , где - равновесное распределение. После этого поток s примет вид

(24,5)

«Коэффициент диффузии» определяется по общему правилу как

где — изменение энергии возбуждения атома при его столкновении с невозбужденным атомом; вычисление по этой формуле сводится к решению механической задачи о столкновении и последующему усреднению по скорости невозбужденного атома (см. задачу 2).

Для нахождения функции замечаем, что равновесное распределение по импульсам и координатам для электрона в кулоновском поле заряда (заряд иона) дается формулой Больцмана

(о ее нормировке см. ниже); движение электрона при квазиклассично, что и позволяет использовать для энергии ее классическое выражение. Функция же распределения по есть, следовательно,

где — объем фазового пространства, отвечающий интервалу :

Заменив и произведя интегрирование, получим

(24,10)

Для формулировки условий, определяющих нужное нам решение уравнений (24,4—5), удобно считать, что наличная плотность электронов в газе тогда в (24,1) можно пренебречь скоростью ионизации , так что убыль будет определяться одной лишь рекомбинацией. В этих условиях постоянное значение потока s в стационарном решении уравнения (24,4) прямо дает значение коэффициента рекомбинации , если только функция должным образом нормирована. Именно, на самых верхних уровнях электроны находятся в равновесии со свободными электронами; это значит, что должно быть

(24,11)

причем нормировка должна отвечать одному свободному электрону в единице объема (что и выполнено в (24,7)).

Для нахождения второго граничного условия (при ) замечаем, что распределение на глубоких уровнях возбужденного атома не возмущено наличием свободных электронов и не зависит от их числа: оно пропорционально равновесному числу а не фактическому При условии эта ситуация выражается граничным условием

Интегрируя уравнение с граничным условием (24,11), имеем

Константа будет совпадать с , если определить ее так, чтобы удовлетворилось условие (24,12).

Таким образом, находим окончательно

Эта формула относится к процессу, в котором роль «третьего тела» играет невозбужденный атом. Если газ уже сильно ионизован (что, однако, еще совместимо с условием ) и достаточно плотен, основная роль может перейти к рекомбинации с участием второго электрона в качестве третьего тела. Скорость рекомбинации становится тогда пропорциональной так что коэффициент рекомбинации, определенный по-прежнему согласно (24,1), будет сам пропорционален Поскольку релаксация по энергии при электронных соударениях происходит быстро, изложенный метод вычисления коэффициента рекомбинации в этом случае неприменим.