§ 93. Диаграммная техника для неравновесных систем

Всякая диаграммная техника основана на выделении из гамильтониана системы оператора взаимодействия: , где — гамильтониан системы невзаимодействующих частиц. Диаграммная техника есть теория возмущений по V.

Ее построение для неравновесной системы осуществляется по тому же пути, по которому это делалось в равновесном случае, при Гриновская функция выражается через -операторы в представлении взаимодействия (т. е. для идеального газа) формулой

где

(93,2)

a - оператор V в представлении взаимодействия. Усреднение в (93,1) производится по некоторому состоянию системы невзаимодействующих частиц. Для дальнейшего будет удобнее предположить, что это состояние является стационарным и однородным, но не основным (мы увидим далее, что это начальное состояние можно исключить и сформулировать теорию так, что уравнения вообще не будут от него зависеть). В этом разница со случаем когда усреднение производится по основному состоянию. Это отличие очень существенно: усреднение оператора уже нельзя отделить от усреднения остальных множителей (как это было сделано в IX, § 12, при переходе от (12,12) к (12,14)); дело в том, что неосновное состояние под влиянием оператора переходит не само в себя, а в некоторую суперпозицию других возбужденных состояний (которые могут наглядно рассматриваться как результат всевозможных процессов взаимного рассеяния квазичастиц.

Выражение (93,1) должно быть разложено по степеням V. При этом удобно сначала преобразовать используя унитарность оператора S:

(использована также эрмитовость оператора V); символ Т антихронологического упорядочения был уже введен в предыдущем параграфе.

Разложив S и в ряды и подставив их в (93,1), мы получим сумму различных членов, в каждом из которых надо произвести усреднение с помощью теоремы Вика, и каждому способу попарных сверток -операторов сопоставляется определенная диаграмма.

Заметим прежде всего, что (как и в диаграммной технике при , которую будем называть «обычной») следует учитывать только связные диаграммы, не содержащие отсоединенных вакуумных петель. Вакуумные же петли взаимно сокращаются. В этом легко убедиться, рассмотрев несколько первых диаграмм, по которым можно усмотреть общий принцип такого сокращения.

Если все свертки, приводящие к связнбй диаграмме, производятся внутри множителя в (93,1), то мы получим члены, изображающиеся описанными в IX, § 13, обычными диаграммами (разумеется, с другим конкретным видом функций, отвечающих сплошным линиям). Напомним, что речь идет здесь о диаграммах в координатном представлении; для неравновесных состояний (когда -функции зависят от переменных по отдельности) переход к импульсному представлению неудобен. Другие члены возникают от свертываний, в которых участвуют также и -операторы из . В каждом порядке теории возмущений они получаются из обычных членов заменой любого множителя V, взятого из S, на множитель V из Эти члены изображаются диаграммами того же графического вида, но с несколько измененным правилом их прочтения. Эти изменения являются следствием трех обстоятельств: 1) в ойераторы взаимодействия входят в виде (вместо в ); 2) все -операторы в стоят всегда левее операторов в произведении внутри множителя операторы упорядочены знаком Т-произведения (вместо Т).

Проследим, как эти изменения проявляются при построении диаграммной техники в простейшем случае для системы частиц (скажем, фермионов), находящихся во внешнем поле

Члены первого порядка в разложении выражения (93,1):

Для рассматриваемой здесь ситуации характерен второй член в этой сумме; при усреднении по основному состоянию должен был бы рассматриваться только первый член.

В первом члене все четыре -оператора находятся под знаком Т-проиэведения; их попарные свертки,

дают множители Во втором же члене сворачиваемые Т-операторы не упорядочены друг с другом знаком Т или Т:

их свертки дают множители и кроме того, здесь стоит вместо

Введем графические элементы, отличающиеся от фигурировавших в обычной диаграммной технике дополнительными индексами + или — на концах линий. Пунктирные линии с индексами или — на одном из концов (вершине диаграммы) означают множитель или :

(ср. IX, § 19). Сплошным линиям с индексами ± на обоих концах сопоставляются различные -функции:

Цифры на концах линий нумеруют аргументы функций — переменные

Тогда два члена (93,4-5) изобразятся диаграммами

Двум внешним концам сплошных линий приписываются индексы — соответственно тому, что речь идет о поправках в функции

По переменным, отвечающим вершине диаграммы, подразумевается интегрирование. В аналитическом виде:

В следующем, втором, порядке теории возмущений поправка в функции дается четырьмя диаграммами:

(цифровые индексы опущены). Индекс ± в каждой вершине диаграммы относится к концам всех трех сходящихся в ней линий.

Аналогичным образом, поправочные члены в других -функциях изобразятся диаграммами с другими индексами у двух внешних концов сплошных линий. Так, для функции в первом порядке имеем две диаграммы:

Таким образом, диаграммы в технике Келдыша получаются из диаграмм обычной техники приписыванием в их вершинах и свободных концах всеми возможными способами дополнительных индексов или Это правило остается в силе и в диаграммной технике при других типах взаимодействия.

Для системы с парным взаимодействием между частицами в обычной диаграммной технике внутренней пунктирной линии сопоставляется потенциал взаимодействия двух частиц. Теперь концам такой линии, приписывается еще пара одинаковых индексов или

Так, поправка первого порядка в функции для системы с парным взаимодействием изобразится суммой четырех диаграмм:

(93,13)

(вместо двух диаграмм IX, (13,13) обычной техники). Сплошной линии, замкнутой самой на себя, по-прежнему сопоставляется множитель (плотность идеального газа) при любом знаке вершины.

Уже упоминалось, что диаграммная техника Келдыша применима также и к равновесным системам при Предположим, что внешнее поле отсутствует и перейдем от координатного к импульсному представлению, разложив все -функции в интегралы Фурье. Тогда, обычным образом, каждой линии на диаграммах приписывается определенный -импульс» и этим линиям сопоставляются, по тем же правилам, функции в импульсном представлении.

При функция распределения Ферми

Поэтому, согласно (92,20—21), для ферми-системы при

и все диаграммы для содержащие «плюсовые» вершины, обращаются тождественно в нуль. Таким образом, диаграммная техника Келдыша в применении к равновесным системам (в отличие от мацубаровской техники) непосредственно переходит при в обычную диаграммную технику.