§ 70. Рассеяние фононов на примесях

В двух предыдущих параграфах подразумевалось, что кристаллическая решетка — идеальная, без дефектов. Остановимся теперь на роли, которую может играть в теплопроводности диэлектрика рассеяние фононов на примесных атомах.

По отношению к длинноволновым акустическим, фононам примесный атом представляет собой точечный дефект решетки. Характерная особенность рассеяния на таких дефектах состоит в его упругости (частота фонона не меняется), причем сечение рассеяния быстро падает с уменьшением частоты или, что то же, волнового вектора — как .

Интеграл столкновений для рассеяния фононов на примесях имеет вид

Как обычно, первый член в фигурных скобках дает число актов рассеяния, приводящих (в единицу времени) фонон в состояние с заданным квазиимпульсом к из, состояний с любыми другими значениями к, отвечающими той же энергии. Аналогичным образом, второй член дает число, актов рассеяния, уводящих фононы из заданного состояния во все другие. Если примесные атомы расположены хаотически, а среднее расстояние между ними много больше амплитуды рассеяния, то различные атомы рассеивают независимо и вероятности складываются. В этих условиях (что и предположено в (70,1)) общее число актов рассеяния пропорционально плотности примесных атомов При рассеянии в анизотропной среде функция зависит от направлений обоих векторов зависимость же от абсолютной величины дается законом да . В (70,1) положено . Напомним, что в борцовском приближении это равенство следует из условия унитарности с учетом малости амплитуды рассеяния, при пренебрежении членами второго порядка (см. II, § 126). К рассеянию фонона на примесном атоме борновское приближение, вообще говоря, неприменимо. Но при низких температурах, когда речь идет о фононах с малыми к, есть другой источник малости амплитуды рассеяния ее пропорциональность пренебрегая членами снова придем к требуемому равенству.

Произведения в фигурных скобках в (70,1) сокращаются, и после подстановки интеграл столкновений сразу принимает линеаризованный вид:

Вместе с функцией о» этот интеграл пропорционален Поскольку в то же время производная при то в этой области частот

С такой ситуацией мы уже встречались в § 68 (ср. (68,4)): зависимость (70,3) приводит к расходимости интеграла, определяющего тепловой поток. Таким образом, само по себе наличие примесей в кристалле не может обеспечить конечности теплового сопротивления диэлектрика.

Это не означает, однако, что примеси вообще не играют роли в установлении этого сопротивления. Дело в том, что рассеяние на примесных атомах не сохраняет квазиимпульс фононов, и в этом смысле оно может играть роль процессов переброса. В достаточно чистых образцах может существовать область низких температур, в которой эффективная частота рассеяния на примесях (для фононов с занимает промежуточное положение между частотами нормальных и перебросных фонон-фононных столкновений:

В таких условиях роль процессов переброса переходит к примесному рассеянию и формулы (69,6-8) остаются в силе, если заменить в них на . В результате коэффициент теплопроводности определяется формулой (69,9) с вместо

Согласно (70,2), . Величины же для акустических фононов пропорциональны (см. (69,10)). Поэтрму мы приходим в рассматриваемой ситуации к закону к