§ 68. Теплопроводность диэлектриков. Высокие температуры

Уравнение (67,13) позволяет сразу же определить температурную зависимость коэффициента теплопроводности диэлектрика при высоких температурах, больших по сравнению с дебаевской температурой в обычных единицах).

Максимальное значение энергии фононов во всех ветвях их спектра порядка величины 0. Поэтому при энергии всех вообще фононов причем для основной их массы . При этом равновесная функция распределения (67,9) сводится к

В интеграле столкновений (67,17) температура выносится в виде множителя функция , взятая для частот не влияет на температурную зависимость интеграла. В левой же стороне уравнения (67,13) производная не содержит температуры. Отсюда заключаем, что

а потому и тепловой поток

Таким образом, коэффициент теплопроводности обратно пропорционален температуре:

(в классической теории этот результат был получен Дебаем (P. Debye)). В анизотропном кристалле направления q и вообще говоря, не совпадают, так что коэффициент теплопроводности не скаляр, а тензор второго ранга; говоря о его температурной зависимости, мы отвлекаемся от этого обстоятельства.

Оценим длину свободного пробега фононов в рассматриваемой области температур. Согласно элементарному газокинетическому соотношению (7,10), , где С — теплоемкость (отнесенная к единице объема), - средняя скорость носителей энергии, -длина их пробега. Теплоемкость кристалла при высоких температурах постоянна; постоянна и скорость фононов, которую можно оценить как скорость звука и. Тогда мы видим, что длина пробега Длина l должна была бы стать порядка постоянной решетки d при температурах настолько высоких, что амплитуда колебаний атомов тоже стала бы Согласно оценке (67,5), такая температура и для длины пробега и эффективной частоты столкновений находим оценки

Отсюда видно, что фактически при всех температурах ниже точки плавления.

В изложенных рассуждениях по существу подразумевалось, что рассмотренный трехфононный механизм теплового сопротивления кристаллической решетки эффективен для всех фононов. Потоки энергии, переносимой различными группами фононов, аддитивны, так что аддитивны и их вклады в коэффициент теплопроводности. Если данный механизм был бы недостаточен хотя бы для какой-нибудь группы фононов, то тем самым он был бы вообще недостаточен для обеспечения конечной теплопроводности. В этом отношении требуют особого рассмотрения длинноволновые акустические фононы.

Рассмотрим прежде всего процессы, в которых участвуют только длинноволновые акустические фононы с малыми квазиимпульсами сравнимой величины (будем обозначать эти квазиимпульсы буквами f с соответствующими индексами). Оценим для таких процессов интеграл столкновений (67,17) в смысле его зависимости от . Согласно (66,14), в этом случае функция . Множители Интегрирование производится в пространстве по объему но - функция выделяет шутри этого объема лишь поверхность с площадью Таким образом, найдем, что интеграл столкновений

(в последнем выражении учтено, что согласно определению (67,15) этот результат можно сформулировать в терминах эффективной частоты столкновений:

В левой же стороне кинетического уравнения (67,13) множитель и не зависит (для акустических фононов) от Поэтому

Вклад длинноволновых фононов в поток энергии q дается интегралом (67,4), взятым по объему Но этот интеграл

расходится при малых как Таким образом, трехфононные процессы между одними только длинноволновыми акустическими фононами привели бы к бесконечной теплопроводности; для обеспечения конечного теплового сопротивления необходимы столкновения этих фононов с коротковолновыми (И. Я. Померанчук, 1941).

Пусть коротковолновый фонон с квазиимпульсом к распадается на длинноволновый акустический фонон f и коротковолновый фонон , относящийся к той же ветви спектра что и фонон к (для дальнейших рассуждений существенна не столько абсолютная величина k, сколько тот факт, что ). Поскольку функция периодична в обратной решетке, то и закон сохранения энергии дает

Второй член справа частота акустического фонона — линейная функция ; — фазовая скорость звука, зависящая от направления

Разложив и по степеням малого f, переписываем это равенство в виде

Оно может быть выполнено, лишь если скорость коротковолнового фонона превышает скорость звука:

В этом смысле наиболее «опасна» акустическая ветвь с наибольшей скоростью звука; эту ветвь мы и будем иметь в виду, говоря об акустических фононах.

Другие возможности для трехфононных процессов появляются при наличии точек вырождения в пространстве, в которых энергии двух или более ветвей фононного спектра совпадают (С. Herring, 1954); наличие таких точек (изолированных или заполняющих линию или плоскость) во многих случаях является обязательным следствием симметрии кристаллической решетки. Возникающие в результате возможности иллюстрируются графическим построением, которое мы сначала проведем для уже рассмотренного случая испускания «сверхзвуковым» коротковолновым фононом.

Рис. 27.

При заданном направлении f выберем это направление в качестве оси х; на рис. 27, а сплошная кривая изображает зависимость (при заданных ) для коротковолновых фононов. Написав условие (68,7) в виде

мы видим, что испускание акустического фонона возможно, если в некоторой точке кривой ее наклон совпадает со скоростью звука. Тогда вблизи этой точки частоты коротковолновых фононов даются точками пересечения кривой с пунктарной прямой, проведенной с наклоном и разность ординат этих точек дает частоту

Если же в некоторой точке кривые двух ветвей со пересекаются, то вблизи такой точки трехфононный процесс возможен всегда, при любых наклонах кривых независимо от того, имеет ли место в точке простое пересечение (рис. 27, б) или касание (рис. 27, в). При этом оба коротковолновых фонона относятся к различным ветвям спектра.

Оценим эффективное число столкновений длинноволнового акустического фонона при наличии точек вырождения. Речь при этом должна идти о процессах поглощения и испускания этого фонона — процессы (67,8) (при распаде такого фонона—процессы ( - два образующихся фонона будут также длинноволновыми и мы возвратились бы к прежней ситуации). Поэтому мы должны оценить второй член в (67,17), считая, что

При этом учтем, что а остальные множители под интегралом можно заменить на независящие от f средние значения, поскольку интегрирование производится лишь в окрестности точек вырождения. Снова введя получим оценку зависимости интеграла столкновений от в виде где

Этот интеграл можно преобразовать в интеграл по поверхности в -пространстве, определяемой уравнением

(68,10)

согласно формуле

где интеграл берется по поверхности Тогда получим

(68,12)

где — площадь поверхности (68,10), а угловые скобки означают усреднение по поверхности.

Рассмотрим типичный случай, когда точки вырождения образуют линию в -пространстве. Тогда при поверхность (68,10) стягивается в линию, на которой лежат точки вырождения, а при малых f она представляет собой тонкую трубку, охватывающую эту линию; зависимость площади от f совпадает поэтому с зависимостью от f диаметра трубки.

Если изоэнергетические поверхности пересекаются на линии вырождения без касания (см. рис. 27, б), то расстояние точки к от точки вырождения зависит от линейно, так что и . Поскольку разность производных в этом случае конечна в точке пересечения, то

(68,13)

Интеграл (68,5) расходится теперь уже лишь логарифмическим образом. Эта расходимость должна устраняться так же, как и в отсутствие вырождения (см. ниже). Ввиду слабости расходимости она обычно не приводит к существенному изменению закона (68,2).

Пусть теперь изоэнергетические поверхности имеют в точке вырождения квадратичное касание. Тогда, как ясно из рис. 27, в, пропорционально квадрату расстояния до точки касания. Площадь же , будучи пропорциональной этому расстоянию, оказывается . Но такова же в этом случае зависимость от и разности производных в (68,12), поскольку кривые производных пересекаются уже без касания. Поэтому в этом случае

(68,14)

и расходимость в теплопроводности не возникает.

Аналогичным образом можно рассмотреть и другие типы вырождениях).

Если точки вырождения в фононном спектре отсутствуют, то для обеспечения конечной теплопроводности за счет трехфононных процессов условие (68,6) должно выполняться (хотя бы для одной ветви спектра ) при всех направлениях . В противном случае конечная теплопроводность устанавливается лишь за счет процессов более высокого порядка (четырехфононных) и закон (68,2) не имеет места. Заметим, что при низких температурах, когда длина пробега настолько возрастает, что может сравниться с размерами образца L, расходимость интеграла (68,5) может обрезаться на что привело бы к зависимости коэффициента теплопроводности от размеров