§ 5. Переход к макроскопическим уравнениям

Кинетическое уравнение Больцмана дает микроскопическое описание эволюции состояния газа. Покажем, каким образом производится переход от кинетического уравнения к обычным уравнениям гидродинамики, осуществляющим менее детальное, макроскопическое описание этой эволюции. Такое описание применимо в условиях, когда макроскопические свойства газа (его температура, плотность, скорость и т. п.) достаточно медленно меняются вдоль его объема: расстояния L, на которых происходит существенное изменение этих свойств, должны быть велики по сравнению с длиной свободного пробега молекул l.

Мы уже упоминали, что интеграл

есть плотность распределения молекул газа в пространстве; произведение есть соответственно массовая плотность газа. Скорость макроскопического движения газа обозначим через V (в отличие от микроскопических скоростей молекул v); она определяется как среднее значение

Столкновения не меняют ни числа сталкивающихся частиц, ни их суммарных энергии и импульса. Ясно поэтому, что столкновительная часть изменения функции распределения не может привести к изменению также и макроскопических величин в каждом элементе объема газа его плотности, внутренней энергии и макроскопической скорости V. Действительно, столкновительные части изменения полных числа, энергии и импульса молекул в единице объема газа даются равными нулю интегралами

В этих равенствах легко убедиться, применив к интегралам преобразование (4,4) соответственно с или (первый интеграл обращается в нуль тождественно, а второй и третий — в силу сохранения энергии и импульса при столкновениях). Напишем теперь кинетическое уравнение

и проинтегрируем его по предварительно умножив на или . Во всех трех случаях правая сторона уравнения обратится в нуль и мы получим следующие уравнения:

Первое из них есть обычное гидродинамическое уравнение непрерывности, выражающее собой сохранение массы газа. Второе уравнение выражает сохранение импульса; тензор Пар определен как

и представляет собой тензор плотности потока импульса: его компонента есть a-я компонента импульса, переносимого молекулами в 1 с через единичную площадку, перпендикулярную оси Наконец, (5,7) есть уравнение сохранения энергии; вектор q определен как

и представляет собой плотность потока энергии в газе.

Для приведения (5,6) и (5,7) к виду обычных гидродинамических уравнений надо, однако, еще выразить и q через макроскопические величины.

Мы уже упоминали, что макроскопическое описание газа предполагает достаточную малость градиентов его макроскопических характеристик. В таком случае в первом приближении можно считать, что в каждом отдельном участке газа успевает установиться тепловое равновесие, между тем как весь газ в целом не находится в равновесии. Другими словами, в каждом элементе объема функция распределения принимается локально-равновесной совпадающей с равновесной функцией с теми плотностью, температурой и макроскопической скоростью, которые имеются в данном элементе. Такое приближение означает пренебрежение всеми Диссипативными процессами в газе вязкостью и теплопроводностью. Естественно, что уравнения (5,6-7) сводятся при этом к уравнениям гидродинамики идеальной жидкости. Убедимся в этом.

Равновесное распределение в участке газа, движущемся как целое со скоростью V, отличается от равновесного распределения в неподвижном газе лишь преобразованием Галилея; перейдя в систему отсчета К, движущуюся вместе с газом, мы получим обычное распределение Больцмана. Скорости v молекул в этой системе связаны с их скоростями в исходной системе К посредством Пишем

члены Vavfs и Vpva обращаются в нуль при усреднении по направлениям v, поскольку все направления скорости молекулы в системе равновероятны. По этой же причине

средний же квадрат тепловой скорости где Т — температура газа. Наконец, заметив, что NT есть давление газа Р, получим

т. е. известное выражение для тензора потока импульса в идеальной жидкости; уравнение (5,6) с этим тензором эквивалентно гидродинамическому уравнению Эйлера (см. VI, § 7).

Для преобразования интеграла (5,9) замечаем, что энергия молекулы в системе отсчета К связана с ее энергией в системе К посредством

Подставив это выражение и , получим

(при усреднении произведения ) использовано (5,10)).

Но есть термодинамическая внутренняя энергия газа, отнесенная к единице объема; сумма же есть тепловая функция W того же количества газа. Таким образом,

в согласии с известным выражением потока энергии в гидродинамике идеальной жидкости (см. VI, § 6).

Наконец, остановимся на законе сохранения момента импульса в кинетическом уравнении. Строгий закон сохранения должен иметь место лишь для полного момента газа, складывающегося из орбитального момента молекул в их поступательном движении и их собственных вращательных моментов М; плотность полного момента дается суммой двух интегралов

Но эти два члена имеют различный порядок величины. Орбитальный момент относительного движения двух молекул, находящихся на среднем расстоянии друг от друга, порядка величины собственный же момент молекулы , т. е. по сравнению с орбитальным моментом (поскольку всегда ).

Естественно поэтому, что кинетическое уравнение Больцмана, отвечающее первому неисчезающему приближению по малой величине не может учесть малых изменений орбитального момента, связанных с обменом между двумя частями полного момента (5,13). С этим связано то обстоятельство, что уравнение Больцмана сохраняет полный орбитальный момент газа: из равенства выражающего сохранение импульса, автоматически следует, что и

Происхождение этогосвойства очевидно: поскольку в уравнении Больцмана столкновения рассматриваются как происходящие в одной точке, то вместе с суммой импульсов сталкивающихся молекул сохраняется также и сумма их орбитальных моментов. Чтобы получить уравнение, описывающее изменение орбитального момента, надо было бы учесть члены следующего порядка по связанные с тем, что в момент соударения молекулы находятся на конечном расстоянии друг от друга.

В то же время, однако, самый процесс обмена моментом между поступательными и вращательными степенями свободы может быть описан в рамках уравнения Больцмана соотношением вида

где — плотность собственного момента вращения молекул. Поскольку при столкновении молекул сумма их собственных моментов не обязана сохраняться, интеграл в правой стороне (5,15), вообще говоря, отличен от нуля и определяет скорость изменения величины ЗК. Если в газе каким-либо искусственным способом создана отличная от нуля плотность момента, то его дальнейшая релаксация будет определяться уравнением (5,15).