§ 9. Симметрия кинетических коэффициентов

Коэффициенты теплопроводности и вязкости относятся к категории величин, определяющих процессы релаксации слабо неравновесных систем. Эти величины — кинетические коэффициенты удовлетворяют принципу симметрии (принцип Онсагера), который может быть установлен в общем виде, без рассмотрения конкретных релаксационных механизмов.

Но при конкретном вычислении кинетических коэффициентов с помощью кинетических уравнений принцип симметрии не дает каких-либо условий, которые должны были бы дополнительно налагаться на решение уравнений. При таком вычислении требования этого принципа удовлетворяются, разумеется, автоматически. Полезно проследить за тем, каким образом это происходит.

Напомним, что в общей формулировке принципа Онсагера (см. V, § 120) фигурирует набор величин , характеризующих неравновесность системы, и набор «термодинамически сопряженных» с ними величин ( - энтропия системы). Процесс релаксации слабо неравновесной системы описывается уравнениями, определяющими скорости изменения величин в виде линейных функций величин

где - кинетические коэффициенты. Согласно принципу Онсагера, если одинаково ведут себя при обращении времени,

При этом скорость изменения энтропии дается квадратичной формой

Первым из этих выражений часто бывает удобным пользоваться для установления соответствия между величинами

В случае теплопроводности в качестве «скоростей» рассматриваем компоненты вектора диссипативного теплового потока (в каждой заданной точке среды); индекс а совпадает при этом с векторным индексом а. Соответствующими величинами будут тогда производные (ср. IX, § 88). Роль уравнений (9,1) играют равенства так что кинетическими коэффициентами являются величины Согласно принципу Онсагера должно быть

Аналогичным образом, в случае вязкости в качестве величин рассматриваем компоненты тензора вязкого потока импульса а соответствующими являются (индексу а отвечает при этом пара тензорных индексовсф). Роль уравнения (9,1) играют соотношения , а кинетическими коэффициентами являются величины

Согласно принципу Онсагера должно быть

В рассмотренных в предыдущих параграфах задачах о теплопроводности и вязкости газов указанная симметрия тензоров и возникала автоматически уже как следствие изотропии среды, безотносительно к решению кинетического уравнения. Покажем, однако, что эта симметрия возникла бы и в результате решения кинетического уравнения, безотносительно к изотропий газа.

Схема решения задач о теплопроводности и вязкости в слабо неоднородном газе состояла в том, что поправка к равновесной функции распределения ищется в виде

и для функций получаются уравнения вида

Величинами являются компоненты вектора

в случае теплопроводности, или тензора

в случае вязкости (ср. (6,19)). Решения уравнений (9,5) должны удовлетворять дополнительным условиям

С учетом этих условий кинетические коэффициенты могут быть записаны в виде интегралов

Доказательство симметрии сводится, таким образом, к доказательству равенства интегралов

Оно основано на свойстве «самосопряженности» линеаризованного оператора I, к которому можно прийти следующим образом.

Рассмотрим интеграл

где - любые две функции переменных Г. Поскольку интегрирование производится по всем переменным можно, не меняя интеграла, произвести любое их переобозначение (как это делалось уже в § 4). Произведем переобозначение , а затем в каждом из двух получающихся таким образом форм интеграла еще переобозначение . Взяв сумму всех четырех выражений, имеем

(обозначения w и из (3,5)). Рассмотрим теперь такой же интеграл, в котором функции заменены соответственно на (не меняя при этом переменных вши ). Произведя в этом интеграле переобозначение и воспользовавшись принципом детального равновесия (2,3), получим

(учтено также, что ) Раскрыв в (9,8) и (9,9) квадратные скобки и сравнив их почленно, убедимся, что оба интеграла равны друг другу. При сравнении надо учесть соотношение унитарности (2,9), в силу которого имеем, например,

(соотношение (2,9) применено здесь к интегрированию по переменным от которых в подынтегральном выражении зависят только w и

Таким образом, приходим к равенству

Отметим, что если принцип детального равновесия справедлив в своей простейшей форме (2,8), , то соотношение (9,10) сводится к буквальной самосопряженности оператора I:

где в обоих интегралах фигурируют функции одних и тех же переменных Г (это сразу очевидно при w — w из выражения ).

Возвращаясь к кинетическим коэффициентам, произведем в первом интеграле (9,7) переобозначение и учтем, что

(верхний знак относится к случаю вязкости, нижний — теплопроводности). Воспользуемся теперь соотношениями (9,5) и (9,10). При этом в (9,10) можно производить интегрирование по вместо Г, значение интеграла от этого, очевидно, не изменится. Имеем

Теперь достаточно переобозначить в правой стороне равенства и с учетом (9,12) мы получим требуемый результат (9,7).

Кинетические коэффициенты должны удовлетворять также и условиям, следующим из закона возрастания энтропии; в частности, должны быть положительны «диагональные» коэффициенты Поскольку кинетическое уравнение обеспечивает возрастание энтропии, то естественно, что при вычислении с его помощью кинетических коэффициентов эти условия удовлетворяются автоматически.

Возрастание энтропии выражается неравенством

(см. § 4). Подставив сюда

имеем

Первый интеграл обращается в нуль тождественно, а во втором пишем, ввиду малости и находим

Этим неравенством и обеспечиваются необходимые свойства кинетических коэффициентов. В частности, при выражает собой положительность