§ 69. Теплопроводность диэлектриков. Низкие температуры

При низких температурах () характер переноса тепйа в диэлектриках радикально меняется. Дело в том, что в таких условиях число процессов переброса становится экспоненциально малым, как это ясно из следующих рассуждений.

Сохранение квазиимпульса в трехфононном процессе с перебросом, выражаемое равенством b, требует, чтобы по крайней мере один из трех квазиимпульсов был велик; пусть это будет b. Тогда и энергия а вследствие этого сохранение энергии требует, чтобы была велика и энергия Но при большинство фононов имеет энергию , а число фононов с энергиями экспоненциально мало. Таким образом, как для процесса распада фонона, так и для обратного процесса слияния двух фононов числа начальных фононов, а с ними и числа процессов, экспоненциально малы. Легко заметить, что в этих рассуждениях несущественна трехфононность процесса. То же самое относится и к процессам с участием большего числа фононов.

В этой ситуации физическая картина теплопередачи выглядит следующим образом. Многочисленные нормальные столкновения фононов, сохраняющие суммарный квазиимпульс, приводят к установлению лишь «внутреннего» равновесия в фононном газе, который может при этом двигаться относительно решетки с произвольной скоростью V. Maлoчиcлeнныe же столкновения с перебросом лишь слабо меняют функцию распределения, но ими устанавливается определенное (пропорциональное градиенту температуры) значение V; этим значением в свою очередь определяется тепловой поток. Покажем теперь, каким образом эта картина выражается в математическом решении задачи.

Запишем кинетическое уравнение в виде

разделив в интеграле столкновений части, связанные с нормальными (индекс N) и перебросными (индекс V) столкновениями. Равновесная функция распределения, отвечающая движению газа как целого со скоростью V, получается из функции заменой ее аргумента о на при малом V имеем

В соответствии с описанной выше картиной ищем решение уравнения (69,1) в виде

— часть изменения функции распределения, связанная с процессами переброса. Эта последняя часть мала по сравнению с . Если обозначить как порядки величины эффективных частот столкновений с перебросами и без них то

Подстановка в (69,1) приводит к уравнению

где действующие на функции линейные операторы определяются выражением (67,17). В (69,5) учтено, что а член опущен как малый; оба же оставленных в правой стороне члена одинакового порядка величины при соотношении (69,4).

Подчеркнем прежде всего, что в пренебрежении процессами переброса, при отличном от нуля градиенте температуры, кинетическое уравнение вообще не имело решения. Действительно, умножим уравнение (69,5) на к, проинтегрируем по и просуммируем по всем ветвям спектра фононов. Поскольку нормальные столкновения сохраняют полный квазиимпульс, то член обратится в результате в нуль, так что остается

В пренебрежении процессами переброса, в правой стороне этого уравнения стоял бы нуль, между тем как левая сторона заведомо отлична от нуля (подынтегральная функция четная функция к, поскольку (а - четная, - нечетная функции); это противоречие и означает отсутствие решения у кинетического уравнения.

С учетом же процессов переброса равенство (69,6) определяет неизвестную величину V, входящую в решение (69,3). Для упрощения записи формул будем считать, что кристалл имеет кубическую симметрию; тогда в интегралах в (69,6) анизотропия кристалла не проявляется и равенство (69,6) после подстановки из (69,3) принимает вид

где введены обозначения

(множитель выделен для упрощения записи формул ниже).

Равенство (69,7) определяет V, после чего поток энергии вычисляется как интеграл (67,4), в котором в качестве N надо подставить функцию

Тогда получим вместе с (69,7) это дает с коэффициентом теплопроводности

Интересно, что в рассматриваемом случае вычисление и не бует решения кинетического уравнения (69,5), а сводится к вычислению интегралов (69,8).

Интегралы и определяются областью частот в которой находится большинство фононов. Эти интегралы зависят от Т лишь степенным образом. Поскольку малой энергией могут обладать лишь акустические фононы, то в фактически достаточно суммировать лишь по трем акустическим ветвям спектра. Легко видеть, что при этом

(69,10)

Экспоненциальная же зависимость заключена в интеграле Его конкретное выражение можно получить с помощью (67,17). Для процессов переброса имеем

Для большинства фононов и функция распределения 1; для фононов же с функция Поэтому множители и при оценке интеграла могут не учитываться. Функции же

содержат множители которые могут быть экспоненциально малыми; эти множители и играют определяющую роль при оценке интеграла.

Таким образом, если интересоваться лишь экспоненциальной зависимостью от температуры, имеем

(69,11)

суммирование производится по всем ветвям спектра и по всем возникающим в процессах переброса отличным от нуля значениям b.

Уравнение

(69,12)

определяет пятимерную поверхность в шестимерном к, -пространстве. Пусть -минимальное значение на этой гиперповерхности; поскольку энергии фононов, участвующих в процессах переброса, велики, то и эти значения Каждый из интегралов под знаком суммы по в (69,11) пропорционален Сохрайив лишь наибольший из них, имеем

(69,13)

где - наименьшее из

Таким образом, мы приходим к результату, что коэффициент теплопроводности зависит от температуры в основном по экспоненциальному закону

(69,14)

причем (R. Peierls, 1929).

Процессы более высокого порядка, с участием большего числа фононов, приводят к температурной зависимости такого же характера, причем А — наименьшее возможное значение энергии начальных фононов в каждом процессе (или, что то же, половина наименьшего значения суммарной энергии всех начальных и конечных фононов, участвующих в процессе). В принципе может оказаться, что это значение меньше, чем для трехфононных процессов, и тогда вклад процессов высшего порядка в теплопроводность может стать преобладающим, несмотря на то, что предэкспоненциальный множитель, разумеется, уменьшается с возрастанием порядка процесса.

В отличие от частоты процессов переброса, эффективная частота нормальных столкновений уменьшается с температурой по степенному закону; имея в виду применение в § 71, определим закон этого убывания.

Нормальные столкновения происходят между акустическими фононами с составляющими большинство. Их квазиимпульсы . В интеграле столкновений (67,17) интегрирование производится по поверхности с площадью выделяемой -функцией в объеме . В этой области функции а функция (согласно (66,14)). Поэтому Коэффициент пропорциональности проще всего определить из условия, что при это выражение и оценка (68,3) должны приводить к одинаковому результату; отсюда

(69,15)